等質空間

トーラス。標準トーラスはその微分同相群と同相群のもとで等質であり、テンプレート:仮リンクはその微分同相群、同相群、テンプレート:仮リンクのもとで等質である。

数学、とくにリー群、代数群、位相群の理論において、群 テンプレート:Mvar の等質空間（とうしつくうかん、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:Mvar が推移的に作用するような空でない多様体あるいは位相空間 テンプレート:Mvar である。テンプレート:Mvar の元は テンプレート:Mvar の対称変換 (symmetry) と呼ばれる。特別な場合は、問題の テンプレート:Mvar が空間 テンプレート:Mvar の自己同型群であるときである――ここで「自己同型群」はテンプレート:仮リンク、微分同相群、あるいはテンプレート:仮リンクの意味である。この場合 テンプレート:Mvar が等質空間であるとは、直感的には テンプレート:Mvar が、等長写像（リジッド幾何学）、微分同相写像（微分幾何学）、あるいは同相写像（位相幾何学）の意味において、各点で局所的に同じに見えるということである。著者によっては テンプレート:Mvar の作用が忠実である（非単位元は非自明に作用する）ことを要求するが、本記事ではそうしない。したがって、テンプレート:Mvar 上のある「幾何学的構造」を保ち テンプレート:Mvar を単一の [[軌道 (群論)|テンプレート:Mvar-軌道]]にすると考えられるような テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への群作用が存在する。

定義

テンプレート:Mvar を空でない集合とし テンプレート:Mvar を群とする。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-空間であるとは、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に作用していることをいう。自動的に テンプレート:Mvar は集合に自己同型（全単射）によって作用することに注意する。テンプレート:Mvar がさらにある圏に属しているならば、テンプレート:Mvar の元はその圏における同型射として作用すると仮定される。したがって テンプレート:Mvar によってもたらされる テンプレート:Mvar 上の写像は構造を保つ。等質空間は テンプレート:Mvar が推移的に作用するような テンプレート:Mvar-空間である。

簡潔には、テンプレート:Mvar が圏 テンプレート:Math の対象であれば、テンプレート:Mvar-空間の構造は圏 テンプレート:Math の対象 テンプレート:Mvar の自己同型射の群の中への準同型写像

テンプレート:Math

である。対 テンプレート:Math は テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の台集合の対称変換の推移的な群であるならば等質空間を定義する。

例

例えば、テンプレート:Mvar が位相空間であれば、群の元は テンプレート:Mvar 上の同相写像として作用すると仮定される。テンプレート:Mvar-空間の構造は テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクの中への群準同型写像 テンプレート:Math である。

同様に、テンプレート:Mvar が可微分多様体であれば、群の元は微分同相写像である。テンプレート:Mvar-空間の構造は テンプレート:Mvar の微分同相群の中への群準同型写像 テンプレート:Math である。

テンプレート:仮リンクは等質空間の重要なクラスであり、以下に挙げる例の多くを含む。

具体例：

等長変換群

• 正の曲率：

1. 球面（直交群）： $S^{n-1}\cong \mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n-1)$
2. 向き付けられた球面（特殊直交群）： $S^{n-1}\cong \mathrm{S}\mathrm{O}(n)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n-1)$
3. 射影空間（テンプレート:仮リンク）： ${\mathrm{P}}^{n-1}\cong \mathrm{P}\mathrm{O}(n)/\mathrm{P}\mathrm{O}(n-1)$

• 平坦（曲率 0）：

1. ユークリッド空間（ユークリッド群、point stabilizer は直交群）： テンプレート:Math

• 負曲率：

1. 双曲空間（テンプレート:仮リンク）、point stabilizer は直交群、テンプレート:仮リンクに対応）： Hⁿ ≅ O⁺(1, n)/O(n)
2. 向き付けられた双曲空間： テンプレート:Math
3. 反ド・ジッター空間： テンプレート:Math

その他

• アフィン空間 (アフィン群、point stabilizer は一般線型群): テンプレート:Math
• テンプレート:仮リンク： $\mathrm{G}\mathrm{r}(r,n)=\mathrm{O}(n)/(\mathrm{O}(r)\times \mathrm{O}(n-r))$

幾何学

エルランゲン・プログラムの観点から、テンプレート:Mvar の幾何学において、「すべての点は同じである」と理解することができる。これは19世紀中頃のリーマン幾何学より前に提案された本質的にすべての幾何学について正しかった。

したがって、例えば、ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間はすべて自然にそれらのそれぞれのテンプレート:仮リンクの等質空間である。同じことはテンプレート:仮リンクのような定曲率の非ユークリッド幾何学のモデルについても正しい。

さらなる古典的な例は3次元の射影空間の直線のなす空間（同じことであるが4次元ベクトル空間の2次元部分空間のなす空間）である。テンプレート:Math がそれらに推移的に作用することを示すのは簡単な線型代数である。line co-ordinates によってそれらを径数付けできる： これらは列が部分空間の2つの基底ベクトルである 4 × 2 行列の 2 × 2 テンプレート:仮リンクである。得られる等質空間の幾何学はユリウス・プリュッカーのテンプレート:仮リンクである。

剰余類空間としての等質空間

一般に、テンプレート:Mvar が等質空間であり、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar のあるマークされた点 テンプレート:Mvar（原点の選択）の安定化群であれば、テンプレート:Mvar の点たちは左剰余類 テンプレート:Math たちと対応し、マークされた点 テンプレート:Mvar は単位元の剰余類に対応する。逆に、剰余類空間 テンプレート:Math が与えられると、これは区別された一点すなわち単位元の剰余類を持った テンプレート:Mvar の等質空間である。したがって等質空間は原点の選択なしに剰余類空間と考えることができる。

一般に、原点 テンプレート:Mvar の異なる選択は、テンプレート:Mvar の内部自己同型によって テンプレート:Mvar と関係付けられる別の部分群 テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar の商群を導く。明示的には、

$H_{o^{\prime }}=g{H}_o{g}^{-1}(1)$

ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar の任意の元である。内部自己同型 (1) はそのような テンプレート:Mvar の取り方にはよらず、テンプレート:Math のみに依存することに注意する。

テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への作用が連続であれば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の閉部分群である。とくに、テンプレート:Mvar がリー群であれば、テンプレート:Mvar はカルタンの定理によって部分リー群である。したがって テンプレート:Math は滑らかな多様体であるので テンプレート:Mvar は群作用と両立する一意的なテンプレート:仮リンクを持っている。

テンプレート:Mvar が単位元のみからなる部分群 テンプレート:Math であれば、テンプレート:Mvar はテンプレート:仮リンクである。

さらにテンプレート:仮リンク空間、とりわけテンプレート:仮リンク $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/H,$ へと進むことができる。ここで テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクに作用する（テンプレート:Mvar の）離散部分群である。

例

例えば直線幾何の場合には、テンプレート:Mvar を、16次元一般線型群 テンプレート:Math の次のような12次元部分群、すなわち行列の成分についての条件

テンプレート:Math

によって定義された部分群として、次のようにして同一視できる、すなわち最初の2つの標準基底ベクトルによって張られる部分空間の安定化群を探す。これは テンプレート:Mvar の次元が 4 であることを示している。

小行列式によって与えられるテンプレート:仮リンクは6個だから、これは後者が互いに独立ではないことを意味する。実は6つの小行列式の間には1つの二次関係が成り立ち、これは19世紀の幾何学者に知られていた。

これはテンプレート:仮リンクの例として射影空間の他に知られていた最初の例である。数学においてよく使われる古典的線型群の等質空間はもっとたくさんある。

概均質ベクトル空間

テンプレート:仮リンクの概念は佐藤幹夫によって導入された。

それは代数群 テンプレート:Mvar の群作用を持った有限次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar であって、ザリスキ位相について開な（したがって稠密な）テンプレート:Mvar の軌道が存在するようなものである。例は1次元空間に作用する テンプレート:Math である。

定義は見た目よりも制約的である。そのような空間は注目すべき性質を持ち、"castling" と呼ばれる変換の違いを除いた既約概均質ベクトル空間の分類がある。

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• 木村達雄：「概均質ベクトル空間」、岩波書店、テンプレート:ISBN2（1998年12月16日）。
• テンプレート:Cite journal

物理学における等質空間

一般相対性理論が用いられる現代宇宙論では、ビアンキ分類系が活用されている。相対論における等質空間はなんらかの宇宙モデルの背景計量の空間部分を表現している。例えば、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量における三つの場合は、ビアンキ I 型（平坦な宇宙）、V 型（開いた宇宙）、VII 型(平坦または開いた宇宙）、IX 型（閉じた宇宙）の部分集合で表現される。また、テンプレート:仮リンクはビアンキ IX 型宇宙論の非等方な例である。

テンプレート:Mvar 次元等質空間には、テンプレート:Math 個からなるキリングベクトル集合の存在が許される。三次元の場合、全部で6つの線形独立なキリングベクトル場が存在する。三次元等質空間の特徴として、これらの線形結合を取ることによっていたるところ非零の三つのキリングベクトル場 ${\xi }_i^{(a)}$を見付けることができる。

${\xi }_{[i;k]}^{(a)}=C_{bc}^a{\xi }_i^{(b)}{\xi }_k^{(c)}$

ここで、$C_{bc}^a$ は「構造定数」と呼ばれる、下付き添字が反対称な定数三階テンソルである（左辺の角括弧は反対称化を、";" は共変微分作用素を表わす）。平坦で等方的な宇宙の場合には、一つの可能性として $C_{bc}^a=0$ (type I) が挙げられるが、閉じたFLRW宇宙の場合には ${\epsilon }_{bc}^a$ をレヴィ＝チヴィタ記号として $C_{bc}^a={\epsilon }_{bc}^a$ が挙げられる。

関連項目

• エルランゲン・プログラム
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク