ワイル計量

テンプレート:翻訳直後 一般相対性理論において、ワイル計量（ワイルけいりょう テンプレート:Lang-en-short、ドイツ系アメリカ人数学者ヘルマン・ワイルに由来）とは、アインシュタイン方程式の「静的」で「軸対称」な解の総称である。カー・ニューマン計量に分類される三つの有名な解、すなわちシュワルツシルト計量、非極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量、極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量がワイル型計量と言える。

標準的ワイル計量

ワイル計量に分類される解は次の一般式を持つ。 テンプレート:NumBlk ここで テンプレート:Math および テンプレート:Math は「ワイルの正準座標」 テンプレート:Math に依存する計量ポテンシャルである。 座標系 テンプレート:Math はワイル時空の対称性に最も適しており（二つのキリングベクトル場は テンプレート:Math および テンプレート:Math となる） しばしば円筒極座標系のように振る舞うが、テンプレート:Math が事象の地平面の外側のみを被覆しているという意味でブラックホールの記述には「不完全」である。

したがって、ある特定のエネルギー・運動量テンソル テンプレート:Math に対応する静的軸対称解を決定するには、式 (テンプレート:EquationNote) に表わされるワイル計量をアインシュタイン方程式に代入する必要がある（ただし テンプレート:Math とする）。 テンプレート:NumBlk そして、二つの関数 テンプレート:Math および テンプレート:Math の関数形をつきとめなければならない。

電磁真空ワイル解用の簡約化方程式

最もよく調査されており最も有用なワイル解の一つが テンプレート:Math が電磁場のみに起因する、すなわち物質も電流も存在しない状況に対応する（ワイル型）電磁真空解である。知っての通り、電磁四元ポテンシャル テンプレート:Math が与えられれば反対称電磁場テンソル テンプレート:Math およびトレースフリーなエネルギー・運動量テンソル テンプレート:Math をそれぞれ計算することができる。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk これは、源無し共変マクスウェル方程式を満たす。 テンプレート:NumBlk 式(5.a) は次のように簡略化できる。 テンプレート:NumBlk ここで テンプレート:Math を用いた。また、電磁真空においては テンプレート:Math であるから、式(2)を次のように簡約化できる。 テンプレート:NumBlk ここで、ワイル型軸対称静電ポテンシャルを テンプレート:Math （成分 テンプレート:Math は実際に電磁スカラーポテンシャル） と式(1)の形のワイル計量を仮定すると、式(3)(4)(5)(6)から次が導ける。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk ここで、テンプレート:Math から式(7.a)が得られ、テンプレート:Math もしくは テンプレート:Math から式(7.b)が得られ、テンプレート:Math もしくは テンプレート:Math から式(7.c)が得られ、テンプレート:Math から式(7.d)が得られ、式(5.b) から式(7.e)が得られる。また、${\mathrm{\nabla }}^2={\partial }_{\rho \rho }+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }+{\partial }_{zz}$ および  $\mathrm{\nabla }={\partial }_{\rho }{\hat{e}}_{\rho }+{\partial }_z{\hat{e}}_z$ はそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。 さらに、物質・幾何相互作用の意味で テンプレート:Math とし、漸近的平坦性を仮定すると式(7.a-e)から次の状態方程式が得られる。 テンプレート:NumBlk 特に、もっとも単純な真空の場合は テンプレート:Math かつ テンプレート:Math であり、式(7.a-7.e)は次のように簡約化される。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk まず式(8.b)を解くことで テンプレート:Math が得られ、その上で式(8.c)および式(8.d)を解くことで テンプレート:Math が得られる。実用上、テンプレート:Math から帰結する式(8.a)は無矛盾性関係式もしくは可積分条件式としてしか働かない。

非線形ポアソン方程式(7.b)とは異り、式(8.b)は線形ラプラス方程式である。これはつまり、式(8.b)を満たす真空解を重ね合わせてもやはり式(8.b)の解であるということを意味する。この事実は広い応用を持っており、たとえば解析的にテンプレート:仮リンクのに応用できる。

テンプレート:Hidden begin 軸対称なラプラス演算子および勾配演算子を用いて式(7.a-7.e)および式(8.a-8.d)をコンパクトに書き下した。これは状態方程式(7.f)の導出に非常に有用である。論文では、式(7.a-7.e)および式(8.a-8.d)は次の形式で書き下されることもしばしばである。

テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk および テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:Hidden end テンプレート:Hidden begin 時空の幾何とエネルギー・物質分布との相互作用を考慮すると、式(7.a-7.e)において計量関数 テンプレート:Math は静電ポテンシャル テンプレート:Math と関数関係 テンプレート:Math （つまり幾何がエネルギーに依存する）を仮定するのが自然であり、ここから次が帰結する。

テンプレート:NumBlk 式(B.1) により式(7.b)および式(7.e)はただちにそれぞれ次のように変換される。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk したがって、次を得る。 テンプレート:NumBlk ここで、変数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math で置き換えれば、式(B.4)は次のように簡約化される。 テンプレート:NumBlk 式(B.5)を直接積分すると テンプレート:Math が得られる。ここで テンプレート:Math は積分定数である。無限遠点における漸近的平坦性を満たすためには、 $\underset{\rho ,z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Phi }=0$ および $\underset{\rho ,z\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{2\psi }=1$ が要請され、したがって テンプレート:Math でなければならない。また、数学的簡便化のために以下 テンプレート:Math を テンプレート:Math のように書き直すこととすると、式(7.a-7.e)から最終的に次の状態方程式が導かれる。 テンプレート:NumBlk

この関係式は式(7.a-7.f)を線形化し、電磁真空ワイル解の重ね合わせる上で重要である。 テンプレート:Hidden end

計量ポテンシャル テンプレート:Math のニュートン力学における相当物

式(1)に示されるワイル計量について、 $e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\pm 2\psi {)}^n}{n!}$ であるから、弱場極限 テンプレート:Math において次の近似が成り立つ。 テンプレート:NumBlk 従って、次の近似式が帰結する。 テンプレート:NumBlk これは、次に示す太陽や地球のような低質量天体の作るよく知られた静的弱重力場に非常によく似ている。 テンプレート:NumBlk

ここで、 テンプレート:Math は通常「ニュートンポテンシャル」と呼ばれ、ポアソン方程式 $\underset{L}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}{\mathrm{\Phi }}_N=4\pi {\varrho }_N$ を満たす。これはワイル計量ポテンシャル テンプレート:Math が式(3.a)または式(4.a)を満すのと同様の意味を持つ。テンプレート:Math と テンプレート:Math の類似性から、ワイル解の研究の際には  テンプレート:Math のニュートン力学における相当物を想定したくなる。つまり、テンプレート:Math を非相対論的にニュートン重力源から導きたくなる。テンプレート:Math のニュートン力学における相当物はワイル型の解を指定し、また拡張する際に非常に助けになることが実証されている。

シュワルツシルト解

ワイルポテンシャルは、式(8)を次のように与えればシュワルツシルト計量を生成する。 テンプレート:NumBlk ここで、次のようにおく。 テンプレート:NumBlk

ニュートン力学における相当物の観点から、 テンプレート:Math は質量 テンプレート:Mvar および長さ テンプレート:Math の棒を テンプレート:Mvar-軸上に対称に置いたときに生成される重力ポテンシャルに等しい。すなわち、一様質量線密度 テンプレート:Math を区間 $z\in [-M,M]$ においた場合に等しい（この類推に基いて、出典で議論されるようにシュワルツシルト解の重要な拡張が開発されている）。

テンプレート:Math と テンプレート:Math が与えられれば、ワイル計量の形式(1)は次のようになる。 テンプレート:NumBlk そして、次の相互に無矛盾な関係式を代入すると、 テンプレート:NumBlk 次の、通常の球面座標系 テンプレート:Math を用いた一般的な形式のシュワルツシルト計量が得られる。 テンプレート:NumBlk 式(14)の形式の計量は、標準的な円筒・球面変換 テンプレート:Math により直接式(16)に変換することはできない。なぜなら、 テンプレート:Math は完全である一方 テンプレート:Math は不完全だからである。これが、式(1)において テンプレート:Math を円筒座標系ではなくワイルの正準座標と呼んだ理由である。しかし、これら二つの座標系の間には多くの共通点がある。たとえば、式(7)に表われるラプラシアン ${\mathrm{\nabla }}^2:={\partial }_{\rho \rho }+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }+{\partial }_{zz}$ は円筒座標系における二次元幾何ラプラシアンに一致している。

非極限的ライスナー・ノルドシュトロム解

次のようなワイルポテンシャルを代入すると、非極限的ライスナー・ノルドシュトロム解 (テンプレート:Math) が式(7）の解として得られる。 テンプレート:NumBlk ここで、次のようにおく。 テンプレート:NumBlk

したがって、上の テンプレート:Math および テンプレート:Math から、ワイル計量は次のように書ける。 テンプレート:NumBlk 次の変換を施すと、 テンプレート:NumBlk 通常の テンプレート:Math 座標による一般的な非極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量が得られる。 テンプレート:NumBlk

極限的ライスナー・ノルドシュトロム解

次のようなワイルポテンシャルにより、極限的ライスナー・ノルドシュトロム解 (テンプレート:Math) が式(7）の解として得られる（極限的解を別個に扱うのは、これが非極限的解の縮退したもの以上の大きな意味を持つからである）。 テンプレート:NumBlk したがって、極限的ライスナー・ノルドシュトロム解は以下のように書ける。 テンプレート:NumBlk

また、次を代入すると、 テンプレート:NumBlk 以下のように通常の テンプレート:Math 座標による極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量を得る。 テンプレート:NumBlk

数学的には、極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量は対応する非極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量において テンプレート:Math の極限をとり、ロピタルの定理を用いれば得られる。

備考: 式(1)のワイル計量において（極限的ライスナー・ノルドシュトロム計量のように）テンプレート:Math を零とすると テンプレート:Math という一つの計量ポテンシャルのみによって決定される特別な下位分類が得られる。この下位分類を軸対称という制限を外して拡張することにより（ただし依然ワイル座標が用いられる）、別の有用な分類が得られる。これを「共形静的 (テンプレート:Lang)」計量と呼ぶ。 テンプレート:NumBlk ここで、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar のかわりに用いた。 これは対称性が異る（テンプレート:Mvar-依存性がある）ことを強調するためである。

球面座標系におけるワイル真空解

球面座標系を用いてワイル計量を表わすこともできる。 テンプレート:NumBlk

この式は式(1)に座標変換 テンプレート:Math をほどこしたものである（注意: 式(15)(21)(24)に示されるように、この座標変換は常に適用可能とは限らない）。真空の場合は、式(8.b)を テンプレート:Math で書くと以下のようになる。 テンプレート:NumBlk

漸近平坦な解の場合、式(28)は以下のようになる。 テンプレート:NumBlk ここで テンプレート:Math はルジャンドル多項式を表わし、テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク係数である。もうひとつの計量ポテンシャル テンプレート:Math は次のように書ける。 テンプレート:NumBlk

関連項目

• シュワルツシルト計量
• ライスナー・ノルドシュトロム計量
• テンプレート:仮リンク
• エルンスト方程式