係数環の変更

テンプレート:No footnotes 代数学において，環準同型 テンプレート:Math が与えられると，加群の係数環を変更する3つの方法がある；すなわち，右 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar と右 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar に対し，

• $f_{!}M=M{\otimes }_{R}S$, 誘導加群．
• $f_{*}M={\mathrm{Hom}}_R(S,M)$, 余誘導加群．
• $f^{*}N=N_R$, 係数の制限．

それらは随伴関手として関係する：

$f_{!}:{\text{Mod}}_R\leftrightarrows {\text{Mod}}_S:f^{*},$

$f^{*}:{\text{Mod}}_S\leftrightarrows {\text{Mod}}_R:f_{*}.$

これはテンプレート:仮リンクと関係する．

Operations

係数制限

係数の制限は テンプレート:Mvar-加群を テンプレート:Mvar-加群に変える．代数幾何学では，用語「係数制限」はしばしばテンプレート:仮リンクのシノニムとして用いられる．

定義

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を2つの環とし（可換であってもなくてもよく，単位元を持っても持たなくてもよい），テンプレート:Math を準同型とする．テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の加群とする．このとき次のようにして テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の加群と見なせる：テンプレート:Mvar の作用を テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して $r\cdot m=f(r)\cdot m$ によって与える．

関手としての解釈

係数制限は テンプレート:Mvar 加群の圏から テンプレート:Mvar 加群の圏への関手と見ることができる．テンプレート:Mvar 準同型 テンプレート:Math は自動的に テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の制限の間の テンプレート:Mvar 準同型になる．実際，テンプレート:Math と テンプレート:Math に対し，

$u(r\cdot m)=u(f(r)\cdot m)=f(r)\cdot u(m)=r\cdot u(m)$

となる．

関手として，係数制限は係数拡大関手の右随伴である．

テンプレート:Mvar が有理整数環のとき，これは単に加群の圏からアーベル群の圏への忘却関手である．

体の場合

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに体のとき，テンプレート:Mvar は単射でなければならないので，テンプレート:Mvar により テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分体と同一視される．そのような場合 テンプレート:Mvar 加群は単に テンプレート:Mvar 上のベクトル空間であり，当然任意の部分体上のベクトル空間でもある．すると制限によって得られる加群は単に部分体 $R\subset S$ 上のベクトル空間である．

係数拡大

係数拡大は テンプレート:Mvar 加群を テンプレート:Mvar 加群に変える．

定義

この定義では環は結合的と仮定するが，可換であったり単位元を持ったりする必要はない．また，加群は左加群と仮定する．右加群の場合に必要な修正は容易である．

テンプレート:Math を2つの環の間の準同型とし，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の加群とする．テンソル積 テンプレート:Math を考える，ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar によって右 テンプレート:Mvar 加群と見なす．テンプレート:Mvar は自身の上の左加群でもあり，2つの作用は可換である，すなわち テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して $s\cdot (s^{\prime }\cdot r)=(s\cdot s^{\prime })\cdot r$ である（よりフォーマルなことばでは，テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 両側加群である）から，テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の左作用を引き継ぐ．それは テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して $s\cdot (s^{\prime }\otimes m)=s{s}^{\prime }\otimes m$ によって与えられる．この加群は テンプレート:Mvar から係数拡大によって得られるといわれる．

インフォーマルには，係数拡大は「環と加群のテンソル積」である；よりフォーマルには，それは両側加群と加群のテンソル積の特別な場合である―― テンプレート:Math 両側加群と テンプレート:Mvar 加群のテンソル積は テンプレート:Mvar 加群である．

例

最も単純な例の1つはテンプレート:仮リンクであり，これは実数から複素数への係数拡大である．より一般に，任意の体拡大 テンプレート:Math が与えられると，テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar に係数拡大できる．体のことばでは，体上の加群はベクトル空間と呼ばれ，したがって係数拡大は テンプレート:Mvar 上のベクトル空間を テンプレート:Mvar 上のベクトル空間に変える．これは，テンプレート:仮リンク（実数から四元数への拡張）のように，可除環に対してもできる．

より一般に，体あるいは可換環 テンプレート:Mvar から環 テンプレート:Mvar への準同型が与えられると，環 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上の結合多元環と考えることができ，したがって テンプレート:Mvar 加群を係数拡大するとき，得られる加群は テンプレート:Mvar 加群と考えることも（テンプレート:Mvar 代数としての）テンプレート:Mvar の代数の表現をもった テンプレート:Mvar 加群と考えることもできる．例えば，実ベクトル空間を複素化 (テンプレート:Math, テンプレート:Math) した結果は，複素ベクトル区間（テンプレート:Mvar 加群）ともテンプレート:仮リンク（テンプレート:Mvar 加群としての テンプレート:Mvar の代数の表現）を持った実ベクトル空間とも解釈できる．

応用

この一般化は体の研究に対してさえ有用である――特に，体に付随する多くの代数的対象はそれら自身は体ではなく表現論のように体上の代数のような環である．ベクトル空間上の係数を拡大できるのと同様に，群環上の係数も拡張でき，したがって群環上の加群すなわち群の表現の係数も拡張できる．特に有用なのは既約表現が係数拡大でどう変わるかを関係づけることである――例えば，平面の 90° の回転によって得られる位数4の巡回群の表現は既約な2次元の実表現であるが，複素数に係数拡大すると，2つの1次元の複素表現に分裂する．これはこの作用素の特性多項式 テンプレート:Math が実数では2次の既約多項式であるが複素数では2つの1次式に分解することに対応する――実固有値は持たないが，2つの複素固有値を持つ．

関手としての解釈

係数拡大は テンプレート:Mvar 加群の圏から テンプレート:Mvar 加群の圏への関手と解釈できる．それは テンプレート:Mvar を上のように テンプレート:Mvar に送り，テンプレート:Mvar 準同型 テンプレート:Math を $u_S={\text{id}}_S\otimes u$ で定義される テンプレート:Mvar 準同型 テンプレート:Math に送る．

係数拡大と係数制限の関係

テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar を考える．準同型 $u\in {\text{Hom}}_R(M,N)$, ただし テンプレート:Mvar は係数制限によって テンプレート:Mvar 加群と見なす，が与えられたとき，テンプレート:Math を合成

${}_{S}M=S{\otimes }_{R}M\stackrel{{\text{id}}_S\otimes u}{\to }S{\otimes }_{R}N\to N$,

と定義する，ただし最後の写像は $s\otimes n\mapsto sn$ である．この テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 準同型であり，したがって $F:{\text{Hom}}_R(M,N)\to {\text{Hom}}_S{(}_{S}M,N)$ は well-defined で，（アーベル群の）準同型である．

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに単位元を持つとき，逆写像 $G:{\text{Hom}}_S{(}_{S}M,N)\to {\text{Hom}}_R(M,N)$ があり，それは以下のように定義される．$v\in {\text{Hom}}_S{(}_{S}M,N)$ とする．すると テンプレート:Mvar は合成

$M\to R{\otimes }_{R}M\stackrel{f\otimes {\text{id}}_M}{\to }S{\otimes }_{R}M\stackrel{v}{\to }N$

である，ただし最初の写像はテンプレート:仮リンク同型 $m\mapsto 1\otimes m$ である．

この構成は群 ${\text{Hom}}_S{(}_{S}M,N)$ と ${\text{Hom}}_R(M,N)$ が同型であることを示している．実はこの同型は準同型 テンプレート:Mvar のみに依っており，したがって関手的である．圏論のことばでは，係数拡大関手は係数制限関手の左随伴である．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 体のテンソル積

参考文献

• J.P. May, Notes on Tor and Ext
• NICOLAS BOURBAKI. Algebra I, Chapter II. LINEAR ALGEBRA.§5. Extension of the ring of scalars;§7. Vector spaces. 1974 by Hermann.

関連文献

• http://mathoverflow.net/questions/1534/induction-and-coinduction-of-representations