複素数の偏角

複素数平面での複素数の絶対値 テンプレート:Mvar, 偏角 テンプレート:Mvar。

数学において、複素数の偏角（へんかく、テンプレート:Lang-en-short）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 テンプレート:Mvar の偏角は記号で テンプレート:Math で表す。偏角はラジアンで表す。

複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。

複素数に対する偏角は、テンプレート:Math の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 テンプレート:Math などに制限する。

テンプレート:Math の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：

テンプレート:Math

テンプレート:Math

(何れも テンプレート:Math)

定義

偏角 テンプレート:Mvar の2つの選び方

複素数 テンプレート:Math2 の偏角は、テンプレート:Math と書かれ、正の実軸から動径 テンプレート:Math までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。

複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間 テンプレート:Math に制限する。テンプレート:Math にすることもある。

主値を テンプレート:Math にすると、逆正接関数 テンプレート:Math を用いて次のように表せる：

$\arg z=\{\begin{array}{cc}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}& (x>0)\\ {\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\pi & (x<0\wedge y\geqq 0)\\ {\tan }^{-1}\frac{y}{x}-\pi & (x<0\wedge y<0)\\ \frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y>0)\\ -\frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y<0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}$

上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数 テンプレート:Math やヘヴィサイドの階段関数 テンプレート:Math を用いることで次のようにまとめることもできる：

$\begin{array}{cc}\arg z& =\{\begin{array}{cc}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\frac{1-\mathrm{sgn}x}{2}(1+\mathrm{sgn}y-|\mathrm{sgn}y|)\pi & (x\ne 0)\\ (\mathrm{sgn}y)\frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\{1-H(x)\}\{2H_1(y)-1\}\pi & (x\ne 0)\\ (\mathrm{sgn}y)\frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\end{array}$

テンプレート:Math 除算を含む式テンプレート:Math と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：

$\begin{array}{cc}\arg z& =\{\begin{array}{cc}|\mathrm{sgn}x|{\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\frac{1-\mathrm{sgn}x}{2}(1+\mathrm{sgn}y-|\mathrm{sgn}y|)\pi & (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}|\mathrm{sgn}x|{\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\{1-H_{1/2}(x)\}\{2H_1(y)-1\}\pi & (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\end{array}$

あるいは、逆余弦関数 テンプレート:Math や逆正弦関数 テンプレート:Math を用いて次のように表すこともできる：

$\begin{array}{cc}\arg z& =\{\begin{array}{cc}(1+\mathrm{sgn}y-|\mathrm{sgn}y|){\cos }^{-1}\frac{x}{|z|}& (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\{2H_1(y)-1\}{\cos }^{-1}\frac{x}{|z|}& (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\arg z& =\{\begin{array}{cc}(1+\mathrm{sgn}x-|\mathrm{sgn}x|){\sin }^{-1}\frac{y}{|z|}+\frac{|\mathrm{sgn}x|-\mathrm{sgn}x}{2}(1+\mathrm{sgn}y-|\mathrm{sgn}y|)\pi & (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\{2H_1(x)-1\}{\sin }^{-1}\frac{y}{|z|}+\{1-H_1(x)\}\{2H_1(y)-1\}\pi & (x\ne 0\vee y\ne 0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}\end{array}$

ここで、テンプレート:Math は複素数の絶対値で、テンプレート:Math である。

主値を テンプレート:Math にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては テンプレート:Math を加えることにすればよい。

偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。

基本的な性質

• $|z|\cos (\arg z)=\mathrm{Re}z$
• $|z|\sin (\arg z)=\mathrm{Im}z$
• $\arg \overline{z}=-\arg z$
• $\arg 0$ は不定

主値をとる偏角

テンプレート:Math（青点）の主値 テンプレート:Math は テンプレート:Math である。赤い線は分岐切断である。

主値 テンプレート:Math における偏角の値を、記号で テンプレート:Math（最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、テンプレート:Math と テンプレート:Math が文献によって逆になることもあることに注意。

$\arg z=\{\mathrm{Arg}z+2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\}$

$\mathrm{Arg}z=\{\arg z-2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\wedge (-\pi <\mathrm{Arg}z\leqq \pi )\}$

数値計算

複素数 テンプレート:Math2 の偏角は逆正接関数 テンプレート:Math で表せる。

テンプレート:Math のとき、すなわち テンプレート:Math2 のとき

テンプレート:Math

が成り立つが、テンプレート:Math 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。テンプレート:Math の場合はさらに テンプレート:Math と テンプレート:Math の場合に分ける。

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}& (x>0)\\ {\tan }^{-1}\frac{y}{x}+\pi & (x<0\wedge y\geqq 0)\\ {\tan }^{-1}\frac{y}{x}-\pi & (x<0\wedge y<0)\\ \frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y>0)\\ -\frac{\pi }{2}& (x=0\wedge y<0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}$

上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{x}{y}& (y>0)\\ -\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{x}{y}& (y<0)\\ 0& (x>0\wedge y=0)\\ \pi & (x<0\wedge y=0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}$

テンプレート:Math の主値を区間 テンプレート:Math とする変種では、値が負のときに値に テンプレート:Math を足すことで得られる。

正接の半角公式 テンプレート:Math を用いると、1つの計算式で表せる：

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}2{\tan }^{-1}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}& (x>0\vee y\ne 0)\\ \pi & (x<0\wedge y=0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}$

ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。

この表示は、テンプレート:Math2 の近くでは 不定形 テンプレート:Math に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式 テンプレート:Math を用いて次の計算式が使われる：

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}2{\tan }^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{y}& (y\ne 0)\\ 0& (x>0\wedge y=0)\\ \pi & (x<0\wedge y=0)\\ \text{indeterminate}& (x=y=0)\end{array}$

主値 テンプレート:Math は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 atan2 あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。テンプレート:Math の主値は区間 テンプレート:Math である。

積・商の偏角

2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 テンプレート:Math の極形式表示を

テンプレート:Math

テンプレート:Math

とすると、

テンプレート:Math

テンプレート:Math

(何れも テンプレート:Math)

テンプレート:Math で テンプレート:Mvar が整数のとき、

テンプレート:Math　テンプレート:Math

例

$\begin{array}{cc}\arg (2+i)+\arg (3+i)& =\arg (2+i)(3+i)\\ & =\arg (5+5i)\\ & =\frac{\pi }{4}(\mathrm{mod}2\pi )//\end{array}$

文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld