ガロアの逆問題

ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体 $\mathbb{Q}$ のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された未解決問題である。

いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 $\mathbb{Q}$ の代数拡大を全て与えるテンプレート:仮リンクが知られている。 例えば、次数がテンプレート:Math以下の置換群は生成的多項式を持つことが知られている。また、位数がテンプレート:Mathの巡回群のように、生成的多項式が存在しない群が存在することも知られている。

より一般的に、任意の有限群 テンプレート:Mvar と体 テンプレート:Mvar に対して、ガロア群が テンプレート:Mvar と同型になるようなガロア拡大体 テンプレート:Mathは存在するかを問う問題も考えられる。そのような体 テンプレート:Mvar が存在するとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上実現可能であると言う。

部分的な結果

特殊な場合については多くのことが詳細に知られている。全ての有限群は複素数体 $ℂ$ 上の1変数代数関数体上実現可能であることが知られている。より一般に、標数零の任意の代数的閉体上の1変数代数関数体でも知られている。イゴール・シャハレビッチは、全ての有限可解群は $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることを示した。テンプレート:仮リンク テンプレート:Math を除く全てのテンプレート:仮リンクは $\mathbb{Q}$ 上実現可能であることも知られている。

ダフィット・ヒルベルトは、この問題が テンプレート:Mvar に対する有理性の問題と関係することを示した:

テンプレート:Mvar を $\mathbb{Q}$ の任意の拡大体とし、テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar が テンプレート:仮リンク として作用し、テンプレート:仮リンク テンプレート:Math が テンプレート:Nowrap 上有理的ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Nowrap 上実現可能である。

ここで、有理的とは $\mathbb{Q}$ の 純超越 拡大体であること、すなわち テンプレート:仮リンク 集合によって $\mathbb{Q}$ 上生成されているという意味である。この判定法を用いることで、例えば全ての対称群が実現可能であることを示せる。

この問題に関して詳細な研究が多くなされているが一般的には解かれていない。いくつかは射影直線のテンプレート:仮リンクとして幾何学的に テンプレート:Mvar を構成する方法に基づいている。代数的な言葉で言えば、不定元 テンプレート:Mvar の 有理関数体 $\mathbb{Q}(t)$ の拡大体をまず考えることに相当する。この拡大体が得られれば、テンプレート:仮リンク によりガロア群を保つように テンプレート:Mvar を特殊化できる。

次数が16以下の全ての置換群は、テンプレート:Nowrap 上実現可能であることが知られている。 次数が17の群 PSL(2,16):2 については知られていない。

PSL(2,25) (位数 7800) よりも小さい、全ての13個の非可換単純群については、テンプレート:Nowrap 上実現可能であることが知られている。

単純な例: 巡回群

古典的な結果を用いることにより、任意の正の整数 テンプレート:Mvar に対して$\mathbb{Q}$ 上のガロア群が巡回群 テンプレート:Math となるような多項式を明示的に構成することができる。これを見るために、まず素数 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math となるようなものを取る。このような素数はディリクレの定理により存在する。テンプレート:Mvar を[[1の冪根|1の原始 テンプレート:Math 乗根]]とし、 テンプレート:Math を $\mathbb{Q}$ に テンプレート:Mvar を付け加えて得られる 円分拡大 とする。体拡大 テンプレート:Math のガロア群は位数 テンプレート:Math の巡回群である。

テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を割り切るので、このガロア群は位数 テンプレート:Math の巡回部分群 テンプレート:Mvar を持つ。この部分群の固定体 テンプレート:Math は、ガロア理論の基本定理より $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として テンプレート:Math を持つ。テンプレート:仮リンクの構成方法に従って テンプレート:Mvar の共役の適当な和を取ることにより、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar で テンプレート:Nowrap 上 テンプレート:Mvar を生成するものを作れ、その最小多項式を計算できる。

任意の有限アーベル群は $\mathbb{Q}$ の円分拡大のガロア群の商として現れる（クロネッカー・ウェーバーの定理はこれよりも深い結果）ので、この方法はそのような群にも適用できる。

範例: 位数3の巡回群

テンプレート:Mathに対しては、テンプレート:Math で取ることができる。このとき テンプレート:Math は位数6の巡回群である。このガロア群の テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に移す元を テンプレート:Mvar とすると、これは生成元になっている。位数2の部分群 テンプレート:Math} に興味がある。元 テンプレート:Math を考える。作り方から テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の作用で不変であり、$\mathbb{Q}$ 上の共役は

テンプレート:Math

テンプレート:Math

テンプレート:Math

の3つである。

下記の恒等式

テンプレート:Math,

を使って、

テンプレート:Math

テンプレート:Math

テンプレート:Math

となることがわかる。

したがって テンプレート:Mvar は多項式

テンプレート:Math,

の根であり、この多項式の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群は テンプレート:Math である。

対称群と交代群

全ての対称群と交代群は有理数係数多項式のガロア群として現れることがヒルベルトにより示された。

多項式 テンプレート:Math の判別式は

$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n^n{b}^{n-1}+(-1{)}^{1-n}(n-1{)}^{n-1}{a}^n)$

である。

特殊な場合として、

テンプレート:Math.

を考える。

多項式 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar を素数に置き換えたもの（テンプレート:Math の特殊化と呼ぶ）は、アイゼンシュタインの既約判定法により既約な多項式である。したがって テンプレート:Math は $\mathbb{Q}(s)$ 上既約である。さらに、テンプレート:Math は

$x^n-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}-(s-\frac{1}{2})(x+1)$

とも書け、テンプレート:Math は

$\frac{1}{2}(x-1)(1+2x+2x^2+\cdots +2x^{n-1})$

と分解できる。

上式の2番目の項は、その相反多項式にアイゼンシュタインの既約判定法を適用することにより、既約であることがわかる。以上から、群 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクであることがわかった。

次にこのガロア群が互換を含むことを見る。定数倍による変数変換 テンプレート:Math を使うと

$y^n-\left\{s{\left(\frac{1-n}{n}\right)}^{n-1}\right\}y-\left\{s{\left(\frac{1-n}{n}\right)}^n\right\}$

となり、

$t=\frac{s(1-n{)}^{n-1}}{n^n}$

と置き、

テンプレート:Math

と定義すると、これは

テンプレート:Math

ともかける。

これから、多項式 テンプレート:Math は テンプレート:Math を重複度2の零点として持ち、残りの テンプレート:Math 個の零点は重複度が1であることが分かり、テンプレート:Math が互換を含むことがわかる。互換を含む任意の有限なテンプレート:仮リンク は対称群そのものと一致する。

テンプレート:仮リンク から、テンプレート:Math を特殊化するとその多項式の有理数体 テンプレート:Nowrap 上のガロア群が テンプレート:Math となるものが無限に存在する。また、そのような有理数は テンプレート:Nowrap のなかで稠密である。

テンプレート:Math の判別式は

$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t)$

となる。

これは完全平方ではない。

交代群

交代群の場合は奇数次数の場合と偶数次数の場合をわけて考える。

奇数次数

$t=1-(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2$

とおく。

この置換で テンプレート:Math の判別式は

$\begin{array}{cc}(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t)& =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-(1-(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2))\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}((-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2)\\ & =n^{n+1}(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}{u}^2\end{array}$

となる。

テンプレート:Mvar が奇数であれば、これは完全平方である。

偶数次数

$t=\frac{1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}$

とおく。

この置換で テンプレート:Math の判別式は

$\begin{array}{cc}(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t)& =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-\frac{1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2})\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}\left(\frac{(1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2)-1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}\right)\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}\left(\frac{(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}\right)\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(t(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2)\\ & =n^n(n-1{)}^n{t}^n{u}^2\end{array}$

となる。

テンプレート:Mvar が偶数であれば、これは完全平方である。

再び、ヒルベルトの既約性定理により、ガロア群が交代群となるような特殊化が無限に多く存在することが示された。

剛的（rigid）な群

テンプレート:Math を有限群 テンプレート:Mvar の共役類とし、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 個の元の組 テンプレート:Math で、各 テンプレート:Math は テンプレート:Math に含まれ、全ての積 テンプレート:Math が単位元になるようなものの集合とする。テンプレート:Mvar が、空集合ではなく、共役による テンプレート:Mvar のその上への作用が推移的であり、更に テンプレート:Mvar の各元が テンプレート:Mvar を生成するとき、剛的（rigid）であると言う。

テンプレート:Harvtxt は、 もし有限群 テンプレート:Mvar が剛的（rigid）な集合を持つならば、この有限群はしばしば有理数体の円分拡大体（具体的には、テンプレート:Mvar の既約指標が共役類 テンプレート:Math でとる値によって生成される有理数体の円分拡大体）上のガロア群として実現できることを示した。

これを使ってモンスター群を含む多くの有限単純群が有理数体のガロア拡大のガロア群となることを示せる。モンスター群は位数が テンプレート:Math、テンプレート:Math、テンプレート:Math の元の3つ組によって生成される。このような3つ組は全て共役である。

剛的（rigid）な群の原型は対称群 テンプレート:Math である。この群は、積を取ると長さ テンプレート:Math 巡回置換になる長さ テンプレート:Mvar 巡回置換と互換で生成される。前節の構成ではこの生成元を使って多項式のガロア群を求めた。

楕円モジュラー関数を使った構成

テンプレート:Math を任意の整数とする。複素平面上の格子 テンプレート:Math の周期の比を テンプレート:Mvar とすると、この格子は周期の比が テンプレート:Math であるような部分格子 テンプレート:Math を持つ。そのような部分格子の集合は有限集合であり、テンプレート:Math の基底変換によりモジュラー群 テンプレート:Math が作用している。テンプレート:Mvar をフェリックス・クラインの楕円モジュラー関数 とする。多項式 テンプレート:Math を、共役な部分格子にわたって テンプレート:Math の積をとったものとして定義する。テンプレート:Mvar の多項式として、テンプレート:Math は $\mathbb{Q}$ 係数のテンプレート:Mathの多項式を係数としている。

互いに共役な格子の集合に、 モジュラー群は テンプレート:Math として作用している。これから、テンプレート:Math の $\mathbb{Q}(\mathrm{J}(\tau ))$ 上のガロア群は テンプレート:Math と同型であることがわかる。

ヒルベルトの既約性定理を使うことにより、多項式 テンプレート:Math を特殊化したときの テンプレート:Nowrap 上のガロア群が テンプレート:Math となるような有理数が無限（更に、稠密）に多く存在する。群の族 テンプレート:Math には無限に多くの非可解群が含まれている。

参考文献

• Alexander M. Macbeath, Extensions of the Rationals with Galois Group PGL(2,Z_n), Bull. London Math. Soc., 1 (1969),332-338.
• テンプレート:Citation
• Helmut Völklein, Groups as Galois Groups, an Introduction, Cambridge University Press, 1996.
• テンプレート:Cite book
  • J.P.セール(著)、H.ダルモン(筆記)、植野義明(訳)：「ガロア理論特論」、トッパン、ISBN 4-8101-8924-4（1995年3月10日）
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, Springer-Verlag, 1999, テンプレート:ISBN2.
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, 2018.
• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Safarevic's Theorem on Solvable Groups as Galois Groups (see also テンプレート:Neukirch et al. CNF)
• Christian U. Jensen, Arne Ledet, and テンプレート:仮リンク, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Cambridge University Press, 2002.