ガロア理論の基本定理

テンプレート:出典の明記 数学において、ガロア理論の基本定理 (テンプレート:Lang-en-short) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。

定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 テンプレート:Math が与えられると、その中間体とガロア群 テンプレート:Math の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。（中間体とは、テンプレート:Math を満たす体のことを言う、それらを テンプレート:Math の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 テンプレート:Math の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

証明

基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。ガロア拡大 テンプレート:Math の自己同型写像は、体 テンプレート:Mvar 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない。

抽象的な言葉では「テンプレート:仮リンクが存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。

対応の明示的な記述

有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。

• テンプレート:Math の任意の部分群 テンプレート:Mvar に対し、対応する体は普通 テンプレート:Mvar と書かれ、これは全ての テンプレート:Mvar の自己同型により固定される テンプレート:Mvar の元の集合である。
• テンプレート:Math の任意の中間体 テンプレート:Mvar に対し、対応する部分群は、単に テンプレート:Math であり、これは全ての テンプレート:Mvar の元を固定する テンプレート:Math に属する自己同型の集合である。

例えば、一番上の体 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の自明な部分群に対応し、基礎体 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の全体に対応する。

対応の性質

対応は次のような有益な性質を持っている。

• 包含関係を逆にする(inclusion-reversing)テンプレート:Sfn。部分群の包含関係 テンプレート:Math が成り立つことと体の包含関係 テンプレート:Math が成り立つこととは同値。
• 拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の部分群であれば テンプレート:Math であり テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。
• 体 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の正規部分群であることとは同値である。このとき テンプレート:Math の元の テンプレート:Mvar への制限は、テンプレート:Math と商群 テンプレート:Math の間の群同型を引き起こす。

例

部分体とテンプレート:仮リンク

体 テンプレート:Math を考える。 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Math を順に添加することで決定されるので、テンプレート:Mvar の各々の元は次のように表すことができる。

$(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}$

ここに テンプレート:Math は有理数である。このガロア群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を固定するような テンプレート:Mvar の自己同型を調べることで決定することができる。ガロア群に属する置換は最小多項式の根の入れ替えだけができるので、そのような自己同型は テンプレート:Math を テンプレート:Math もしくは テンプレート:Math へ写し、テンプレート:Math を テンプレート:Math もしくは テンプレート:Math へ写す必要がある。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math と テンプレート:Math とを入れ替えるとすると、

$f((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3})=(a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$

となり、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math と テンプレート:Math を入れ替えるとすると、

$g((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3})=(a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$

となる。これらは明らかに テンプレート:Mvar の自己同型である。何も変えない恒等写像である自己同型 テンプレート:Math も存在し、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の合成も存在し、それらの両方の冪根の符号を変える。

$(fg)((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3})=(a-b\sqrt{2})-(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}.$

したがって

$G=\{1,f,g,fg\}$

であり、 テンプレート:Mvar はクラインの四元群に同型である。この群は 5つの部分群を持ち、それらの各々は基本定理から テンプレート:Mvar の部分体と対応する。

• （単位元のみを含む）自明な部分群は、テンプレート:Mvar の全体に対応する。
• 全体 テンプレート:Mvar は、基礎体 テンプレート:Math に対応する。
• 2元からなる部分群 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を固定するので部分体 テンプレート:Math に対応する。
• 2元からなる部分群 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を固定するので部分体 テンプレート:Math に対応する。
• 2元からなる部分群 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を固定するので部分体 テンプレート:Math に対応する。

非アーベル的な例

部分体と部分群の束

次の例はガロア群がアーベル群でない最も簡単な例である。

テンプレート:Math 上の多項式 テンプレート:Math の分解体 テンプレート:Mvar を考える。すなわち、テンプレート:Math で、ここに テンプレート:Mvar は 2 の立方根であり、テンプレート:Mvar は 1 の立方根である（が 1 ではない）。例えば、テンプレート:Mvar を複素数の中の体と考えると、テンプレート:Mvar として 2 の実立方根、テンプレート:Mvar として

$\omega =\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

が取れる。ガロア群 テンプレート:Math は 6 つの元をもち、3つの対象の置換群と同型である。テンプレート:Mvar は（たとえば）2つの自己同型—— テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar とする ——により生成され、それらは次の テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar への作用により定められる。

$f(\theta )=\omega \theta ,f(\omega )=\omega ,$

$g(\theta )=\theta ,g(\omega )={\omega }^2.$

したがって

$G=\{1,f,f^2,g,gf,g{f}^2\}.$

である。

テンプレート:Mvar の部分群と対応する部分体は次のようになる。

• いつものように全体 テンプレート:Mvar は基礎体 テンプレート:Math に対応し、自明な群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 全体に対応する。
• 位数 3 の群、テンプレート:Math が唯一、存在する。対応する部分体は テンプレート:Math であり、これは テンプレート:Math 上、次数 2 であり（テンプレート:Mvar 最小多項式は テンプレート:Math）、テンプレート:Mvar の指数 2 の テンプレート:Mvar の部分群であるという事実に対応している。また、この部分群は正規部分群で、テンプレート:Math 上で正規な体であるという事実に対応している。
• 位数 2 の部分群が 3個存在し、テンプレート:Math で、これらがそれぞれ 3つの部分体 テンプレート:Math に対応している。3つの部分体は テンプレート:Math 上、次数 3 の部分体であり、指数 3 をもつ テンプレート:Mvar の部分群に対応している。注意すべきは、部分群が テンプレート:Mvar で正規部分群ではなく、この事実は部分体は テンプレート:Math 上、ガロア的になっていないという事実に対応している。例えば、テンプレート:Math は多項式 テンプレート:Math の根を一つしか持っていないので、テンプレート:Math 上、正規ではありえない。

応用

この定理は拡大体 テンプレート:Math の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、まず最初に、テンプレート:仮リンク（テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar のある元の テンプレート:Mvar 乗根としたときに テンプレート:Math となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、冪根拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。

クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。

無限次拡大の場合

この基本定理には、正規拡大であり分離拡大である無限次代数拡大へ適用できるバージョンも存在する。これには、ガロア群にクルル位相というある位相構造を定義することが必要で、閉集合である部分群だけが上記の対応と関連している。

参考文献

• テンプレート:Cite book