逆ガンマ分布

逆ガンマ分布（ぎゃくガンマぶんぷ、テンプレート:Lang-en）は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。

定義と性質

逆ガンマ関数の確率密度関数はテンプレート:Ill $α > 0$ 、テンプレート:Ill $β > 0$ で、台 $(0, \infty)$ の上で

f (x; α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \frac{e^{- β / x}}{x^{α + 1}}

と定義される^[1]。ここで $Γ$ はガンマ関数である。尺度母数について

f (x; α, β) = \frac{1}{β} f (x / β; α, 1)

である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。

F (x; α, β) = \frac{Γ (α, β / x)}{Γ (α)}

ここで分子の $Γ$ は不完全ガンマ関数である。

$α > n$ の場合、 $n$ 次のモーメントは

E [X^{n}] = β^{n} \frac{Γ (α - n)}{Γ (α)} = \frac{β^{n}}{(α - n) \dots (α - 1)}

である^[2]。期待値と分散はそれぞれ

\begin{matrix} E [X] & = \frac{β}{α - 1} & (α > 1), \\ V [X] & = \frac{β^{2}}{(α - 2) (α - 1)^{2}} & (α > 2) \end{matrix}

である。

$𝖨 𝗇 𝗏 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (α, 1 / 2)$ は $𝖨 𝗇 𝗏 𝖢 𝗁 𝗂 𝟤 (2 α)$ （テンプレート:Ill）
$𝖨 𝗇 𝗏 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (1 / 2, β)$ は $𝖫 𝖾 𝗏 𝗒 (0, 2 β)$ （レヴィ分布）
$X \sim 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (α, θ)$ （ガンマ分布、 $θ$ はガンマ分布にとっての尺度母数）ならば $1 / X \sim 𝖨 𝗇 𝗏 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (α, 1 / θ)$
注意： $X \sim 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (α, β)$ （ガンマ分布、 $β$ はガンマ分布にとってのテンプレート:Ill）ならば $1 / X \sim 𝖨 𝗇 𝗏 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (α, β)$
$X \sim 𝖨 𝗇 𝗏 𝖦 𝖺 𝗆 𝗆 𝖺 (1, β)$ ならば $1 / X \sim 𝖤 𝗑 𝗉 (β)$ （指数分布）