パドヴァン数列

パドヴァン数列の大きさの辺長を有する正三角形を並べた図

パドヴァン数列は、漸化式 $a_0=a_1=a_2=1,a_n=a_{n-2}+a_{n-3}$ で表される数列である。

第0～25項（4桁未満）の値は次のとおりである：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, 351, 465, 616, 816, ... （テンプレート:OEIS）

この、各項が2つ前と3つ前の項の和で与えられる数列は、イタリアの建築家テンプレート:仮リンクにちなんでパドヴァン数列と呼ばれている。

性質

• パドヴァン数列の母関数は次のとおりとなる：

$G(a_n;x)=\frac{1+x}{1-x^2-x^3}$

• 別途、$n\ge 5$ である各項は1つ前と5つ前の項の和としても与えられる。すなわち、

$a_n=a_{n-1}+a_{n-5}$

• ペラン数 $p_n$ とは、次の関係にある：

$p_n=a_{n+1}+a_{n-10}$

• 特性方程式：

$x^3-x-1=0$

の唯一の実数解より、パドヴァン数列（ペラン数列も然り）の連続する2項の比の値はプラスチック数

$\rho =\sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}=1.324717957244746025960908854\cdots$

に次第に近づくことになる。

外部リンク

• テンプレート:MathWorld