八円定理

幾何学において、八円定理（はちえんていり、 テンプレート:Lang-en ）またはダオの八円定理は、8つの円に関する定理である。ある円上の6つの点テンプレート:Mathと他の円上の6点テンプレート:Mathについて、i=1,2,3,4,5で、テンプレート:Mathが共円ならば、テンプレート:Mathも共円である。さらに、円テンプレート:Mathの中心をテンプレート:Mathとして、直線テンプレート:Mathは共点である。

証明

証明の序盤は、ダオによりテンプレート:仮リンクのCrux Mathematicorumの3845番に掲載されている。

まず、ミケルの六円定理により、i=1,2,3で成り立つとき、4つの連鎖ならばテンプレート:Mathは共円でなければならない。そして円テンプレート:Mathとテンプレート:Mathとテンプレート:Mathに同様にミケルの六円定理を使うことで、テンプレート:Mathの共円が示される。同様の議論は偶数個の円においても示せる。

テンプレート:Mathが共点であることは、これら円の中心が成す六角形が、テンプレート:Mathの2円の中心を焦点とする円錐曲線に接することを示すことにより、ブリアンションの定理で示される。この証明はCrux Mathematicorumの問題3945でクリス・フィッシャーによって大まかに証明され、ミシェル・バタイユによって補完された。以下の補題のテンプレート:Mathにテンプレート:Mathを当てはめる事により示される。

またこのほかにもGábor Gévay と Ákos G. Horváthによる高度な知識を使った証明や、Nguyen Chuong Chiによる初等的な解法もある。

補題

3つの円テンプレート:Mvar（中心も同名）があり、テンプレート:Mvarはそれぞれテンプレート:Mathで、テンプレート:Mvarはそれぞれテンプレート:Mathで交わっている。テンプレート:Mvarを焦点とするある円錐曲線が線分テンプレート:Mathの垂直二等分線テンプレート:Mathに接することを示す。テンプレート:Mvarはテンプレート:Mathの垂直二等分線であることから、テンプレート:Mathで直線テンプレート:Mathの成す有向角を表すとして、

$\mathrm{\angle }(CA,l)=\mathrm{\angle }(A_1{A}_2,A_1{B}_1),\mathrm{\angle }(BA,l^{\prime })=\mathrm{\angle }(B_1{B}_2,B_2{A}_2)$

が成り立ち、さらに円周角の定理から

$\mathrm{\angle }(CA,l)+\mathrm{\angle }(BA,l^{\prime })=0$

である。したがってテンプレート:Mathはテンプレート:Mvarに対する等角共役線であり、今テンプレート:Mathがテンプレート:Mvarを焦点とする円錐曲線テンプレート:Mvarに接しているとし、さらにテンプレート:Mvarを通り、テンプレート:Mvarに接するテンプレート:Mathでない直線テンプレート:Mathがあるとすると、よく知られた定理（The second little Poncelet theorem）により、テンプレート:Mathはテンプレート:Math以外にありえない。したがってテンプレート:Mathはテンプレート:Mvarに接する。

ブリアンションの定理との関係

八円定理は円に対するブリアンションの定理の一般化となっている。さらにこの定理の双対は円におけるパスカルの定理やDao-symmedial circleの一般化になる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• ミケルの定理
• 五円定理
• 六円定理
• 七円定理
• 九円定理
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• GeoGebra
• 八円問題
• 八円定理の一般化の逆
• 八円定理の特別な場合
• 八円定理の特別な場合の逆