トランスクリティカル分岐

トランスクリティカル分岐の様子を示すアニメーション。曲線が テンプレート:Mvar 軸と1点で接するときに分岐が起きる。

トランスクリティカル分岐（テンプレート:Lang-en）は、力学系における分岐の一種。安定性交替型分岐や遷臨界型分岐ともいう。安定な固定点と不安定な固定点が衝突し、安定性が入れ替わるような分岐を起こす。

トランスクリティカル分岐は、固定点近傍で起こる局所的分岐の一種で、1次元以上の系で起こる。連続力学系と離散力学系のどちらにもトランスクリティカル分岐と分類されるものがあり、連続力学系の標準形は1次元常微分方程式の

$\frac{dx}{dt}=\mu x\mp x^2$

で、離散力学系の標準形は1次元写像の

$x\mapsto x+\mu x\mp x^2$

で与えられる。

特徴

力学系には、連続的な時間で考える連続力学系と、離散的な時間で考える離散力学系がある。どちらの種類の力学系でも、トランスクリティカル分岐と見なされる分岐が存在するテンプレート:Sfnm。力学系の分岐には、固定点（連続力学系では平衡点ともいう）の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐があるテンプレート:Sfn。トランスクリティカル分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得るテンプレート:Sfn。ただし、多次元相空間で起こる場合でもトランスクリティカル分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、中心多様体の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できるテンプレート:Sfnm。

トランスクリティカル分岐には、2つの固定点が関わるテンプレート:Sfn。1つの固定点は安定（源点）で、もう一つの固定点は不安定（沈点）であるテンプレート:Sfn。パラメータを変化させると、1つの固定点がもう1つの固定点に近づいていき、衝突して通り過ぎる。したがって、トランスクリティカル分岐では固定点の数は分岐（衝突）後も変わらないテンプレート:Sfn。しかし、それぞれの固定点の安定性が分岐によって入れ替わるテンプレート:Sfn。このような2つの固定点間での安定性の交換がトランスクリティカル分岐の特徴であり、安定性交替型分岐とも呼ばれるテンプレート:Sfn。遷臨界型分岐や遷臨界分岐といった呼び方がされることもある。

トランスクリティカル分岐は非双曲型固定点で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つテンプレート:Sfn。このような分岐は連続力学系ではゼロ固有値分岐と呼ばれ、トランスクリティカル分岐はその一種であるテンプレート:Sfnm。

標準形・分岐図

連続力学系

分岐理論における標準形とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できるテンプレート:Sfnm。連続力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元常微分方程式で与えられるテンプレート:Sfnm。

$\frac{dx}{dt}=f(x,\mu )=\mu x\mp x^2$

ここで、テンプレート:Math は独立変数で時間を意味し、テンプレート:Math は従属変数で状態変数を意味する。テンプレート:Math は時間に依らない係数で、系のパラメータであるテンプレート:Sfn。以下、簡単のため、テンプレート:Math を テンプレート:Math とも記す。

上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル（超臨界）な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル（亜臨界）な分岐と呼ばれる。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点（平衡点）とは、

$\frac{dx}{dt}=0$

を満たす点 テンプレート:Mvar のことで、固定点では系は定常状態にあるテンプレート:Sfn。固定点を テンプレート:Math で表すとすれば、トランスクリティカル分岐の標準形の固定点は、テンプレート:Math と テンプレート:Math の2つであるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math 平面で考えると、テンプレート:Math の曲線が テンプレート:Mvar 軸と交わる箇所が固定点であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar を変化させると、テンプレート:Math の曲線は以下の図のように変化するテンプレート:Sfnm。

連続力学系の標準形（右辺第2項符号が負の場合）において、パラメータ テンプレート:Mvar を変化させたときの テンプレート:Math グラフの様子

パラメータ テンプレート:Mvar と固定点 テンプレート:Math の変化を整理すると次のようになっているテンプレート:Sfnm。

• テンプレート:Math では、テンプレート:Math は不安定固定点、テンプレート:Math は安定平衡点である。テンプレート:Mvar を増加させていくと、テンプレート:Math は テンプレート:Math へ近づいていく。
• テンプレート:Math では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は テンプレート:Math のみとなる。
• テンプレート:Math では、再び固定点は2つになり、今度は テンプレート:Math が安定固定点、テンプレート:Math が不安定固定点になる。

パラメータ テンプレート:Mvar を独立変数とみなし、テンプレート:Math 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図というテンプレート:Sfn。トランスクリティカル分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになるテンプレート:Sfn。

トランスクリティカル分岐の分岐図。左がスーパークリティカルの場合、右がサブクリティカルの場合。

離散力学系

離散力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元写像で与えられるテンプレート:Sfn。

$x\mapsto f(x,\mu )=x+\mu x\mp x^2$

連続力学系と同じく、ここでは、右辺第3項の符号が負である場合を考える。この写像の固定点（不動点）とは、

$f(x)=x$

を満たす点 テンプレート:Mvar であるテンプレート:Sfn。連続力学系と同じく固定点を テンプレート:Math で表すと、離散力学系の標準形の固定点は テンプレート:Math および テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math 平面で考えると、テンプレート:Math の曲線が テンプレート:Math の直線と交わる箇所が固定点である。テンプレート:Mvar を変化させると、テンプレート:Math の曲線は以下の図のように変化するテンプレート:Sfn。

トランスクリティカル分岐の標準形のパラメータ テンプレート:Mvar を変化させたときの テンプレート:Math グラフの様子

パラメータ テンプレート:Mvar と固定点 テンプレート:Math の変化は次のようになっているテンプレート:Sfn。

• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math では、テンプレート:Math は不安定固定点、テンプレート:Math は安定固定点である。テンプレート:Mvar を増加させていくと、テンプレート:Math は テンプレート:Math へ近づいていく。
• テンプレート:Math では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は テンプレート:Math のみとなる。
• テンプレート:Math かつ テンプレート:Math では、再び固定点は2つになり、今度は テンプレート:Math が安定固定点、テンプレート:Math が不安定固定点になる。

離散力学系の標準形の分岐図は、連続力学系と同じ形であるテンプレート:Sfn。

一般的条件

標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場

$\frac{dx}{dt}=f(x,\mu ),x\in ℝ,\mu \in ℝ$

が与えられたとする。ベクトル場 テンプレート:Math が固定点 テンプレート:Math を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 テンプレート:Math で テンプレート:Math はトランスクリティカル分岐を起こすテンプレート:Sfn。

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f(0,0)}{\partial \mu }=0\\ \frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial x^2}\ne 0\\ \frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial x\partial \mu }\ne 0\end{array}$

上記の一般的条件は テンプレート:Math に限定されないテンプレート:Sfn。分岐点が任意の値の組 テンプレート:Math でも、テンプレート:Math で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きるテンプレート:Sfn。

別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に適当な変換を施せば、分岐点 テンプレート:Math 近傍で

$\frac{dy}{dt}=ay\pm y^2+O(y^3)$

という形に書き直すことができるテンプレート:Sfn。ここで、テンプレート:Mvar は新たな変数、テンプレート:Mvar は新たなパラメータ、テンプレート:Math はランダウの記号である。

離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像

$x\mapsto f(x,\mu )$

が条件

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=1\\ \frac{\partial f(0,0)}{\partial \mu }=0\\ \frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial x^2}\ne 0\\ \frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial x\partial \mu }\ne 0\end{array}$

を満たすとき、テンプレート:Math で写像 テンプレート:Math はトランスクリティカル分岐を起こすテンプレート:Sfn。

例

$\frac{dx}{dt}=\mu \ln x+x-1$で起きるトランスクリティカル分岐の様子。

次の微分方程式はトランスクリティカル分岐を起こす一例であるテンプレート:Sfnm。

$\frac{dx}{dt}=\mu \ln x+x-1$

この系では テンプレート:Math が テンプレート:Mvar によらず常に固定点となるテンプレート:Sfnm。分岐値は テンプレート:Math で、テンプレート:Math でトランスクリティカル分岐が起こるテンプレート:Sfnm。

次の写像は離散力学系でトランスクリティカル分岐を起こす一例で、ロジスティック写像として知られるテンプレート:Sfn

$x\mapsto \mu x(1-x)$

この系でも テンプレート:Math が テンプレート:Mvar によらず常に固定点であるテンプレート:Sfn。分岐値は テンプレート:Math で、テンプレート:Math でトランスクリティカル分岐が起こるテンプレート:Sfn。

一般に、連続力学系の周期軌道の問題は、ポアンカレ写像によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できるテンプレート:Sfn。周期軌道のポアンカレ写像がトランスクリティカル分岐が起こす場合は、元の相空間上では2つの安定・不安定な周期軌道が衝突・通過し、安定性が入れ替わるような挙動となるテンプレート:Sfn。

参照文献

• テンプレート:Cite book ja-jp
• テンプレート:Cite book ja-jp
• テンプレート:Cite book ja-jp
• テンプレート:Cite book ja-jp
• テンプレート:Cite book ja-jp

外部リンク

• テンプレート:Commonscat-inline
• テンプレート:MathWorld