ディリクレの関数

ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような関数のことである。

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& (x\in \mathbb{Q})\\ 0& (x\in ℝ\setminus \mathbb{Q})\end{array}$

ただし、ℚ は有理数全体の成す集合であり、ℝ ∖ ℚ は無理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者のペーター・グスタフ・ディリクレに因んで命名された。

積分可能性

$\sup \underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=a-b$

$\inf \underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$

が成り立つからテンプレート:Efn、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。一方、ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である ℚ はルベーグ測度に関して零集合であることによる。

周期性

この関数は、任意の有理数$a$に対して $f(x+a)=f(x)$ となる。これは有理数体 ℚ が加法について閉じていることによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

連続関数の極限としての表示

ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2k}(n!\pi x)$

と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数 テンプレート:Mvar を考える。[[階乗|テンプレート:Mvar!]] テンプレート:Mvar は、十分大きな テンプレート:Mvar に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 テンプレート:Mvar は、いくら テンプレート:Mvar を大きく取っても テンプレート:Mvar! テンプレート:Mvar が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& (n!x\in \mathbb{Z})\\ 0& (n!x\in ℝ\setminus \mathbb{Z})\end{array}(n\to \mathrm{\infty })$

ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数

$F(x)=\{\begin{array}{cc}1& (x\in \mathbb{Z})\\ 0& (x\in ℝ\setminus \mathbb{Z})\end{array}$

を表示できれば、テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) = lim[[[:テンプレート:Mvar]]→∞] F(テンプレート:Mvar!テンプレート:Mvar) となって決着がつく。（テンプレート:Mvar は単独で考えても興味深い関数である。） テンプレート:Mvar は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos²(πテンプレート:Mvar) は、テンプレート:Mvar が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、

$F(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2k}(\pi x)$

が結論付けられる。従って、

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(n!x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2k}(n!\pi x)$

となる訳である。

関連項目

• カントール関数
• 高木関数
• トマエ関数
• ワイエルシュトラス関数

外部リンク

• テンプレート:PDFlink
• テンプレート:MathWorld