平方完成

ファイル:Completing the square.ogv 平方完成（へいほうかんせい、テンプレート:Lang-en-short）とは、二次式（二次関数）を式変形して $a(x-h{)}^2$ の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。

$a{x}^2+bx+c=a(x-h{)}^2+k(a\ne 0)$

$x-h$ の $h$ を除けば、つまり $x-h=t$ と変換すれば

$a{t}^2+k$

の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：

• 二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）
• 二次関数のグラフの頂点の座標を求める
• 微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
• ラプラス変換の計算

また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。

概観

二次式 $a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ において、一次の項「$+bx$」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 $x$ が $x-h$ の形になる代わりに一次の項がなくなれば、$h$ の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が テンプレート:Math の場合とそうでない場合に分けてみる。

二次の係数（最高次係数）が テンプレート:Math の場合

$x^2+bx+c$

の一次の項「$+bx$」をなくして $x^2$ を $(x-h{)}^2$ の形にする。

$(x-h{)}^2=x^2-2hx+h^2$

より、一次の係数を比較すると

$b=-2h$

$h=-\frac{b}{2}$

これにより、テンプレート:Math の平方完成は次の式になる：

$x^2+bx+c={(x+\frac{b}{2})}^2-\frac{b^2}{4}+c$

二次の係数（最高次係数）が テンプレート:Math でない場合

$a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

の一次の項「$+bx$」をなくして $x$ を $x-h$ にする。

二次の係数が テンプレート:Math の場合で得られた等式

$x^2+bx={(x+\frac{b}{2})}^2-\frac{b^2}{4}$

を利用する。

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\ & =a\{{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\}+c\\ & =a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a}+c\\ & =a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{array}$

つまり、一次以上の項を二次の係数 テンプレート:Mvar で括ることにより、二次の係数が テンプレート:Math の場合を利用している。

二次形式の平方完成

1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の テンプレート:Mvar 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら

$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f(abc\ne 0)$

である。これは二次形式

$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2}& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d\\ e\end{array}\right)+f(abc\ne 0)$

の形で書ける。

一般の テンプレート:Mvar 変数二次式は、テンプレート:Mvar を対称行列として

${}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^t(x-h)A(x-h)+k(h=-\frac{1}{2}{A}^{-1}b,k=c-\frac{1}{4}{}^{t}b{A}^{-1}b)$

で書ける。

テンプレート:Mvar が対称でないときは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の式が

$h=-(A+{}^{t}A{)}^{-1}b,k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b(A+{}^{t}A{)}^{-1}A(A+{}^{t}A{)}^{-1}b$

とやや一般になるが同じ式で書ける。

幾何学的解釈

二次方程式

$x^2+bx=a$

を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

テンプレート:Math は一辺が テンプレート:Mvar の正方形の面積、テンプレート:Mvar は縦横が テンプレート:Math2 の長方形の面積に等しい。面積 テンプレート:Mvar の長方形を2等分割して、長さ テンプレート:Mvar の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が テンプレート:Math の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に テンプレート:Math を加えると、平方 テンプレート:Math が完成する。 テンプレート:-

類似の手法

平方完成とは、テンプレート:Math の形の式に第三項 テンプレート:Math を加えて完全平方式を作る操作である。テンプレート:Math が先に与えられていても、中間項 テンプレート:Math または テンプレート:Math を加えることにより完全平方式を得ることができる。

相反式の平方完成

正の実数 テンプレート:Mvar に対して、自身とその逆数の和は

$\begin{array}{cc}x+\frac{1}{x}& =(x-2+\frac{1}{x})+2\\ & ={(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}^2+2\end{array}$

このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に テンプレート:Math 以上であることが示される。

複二次式の因数分解

複二次式

$x^4+324$

を因数分解することを考える。この式は $(x^2{)}^2+18^2$ と見ることができるから、中間項 テンプレート:Math を考え、

$\begin{array}{cc}{x}^4+324& =(x^4+36x^2+324)-36x^2\\ & =(x^2+18{)}^2-(6x{)}^2\\ & =(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\ & =(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\end{array}$

と因数分解できる。

二次関数のグラフ

テンプレート:Multiple image 二次関数 $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ の テンプレート:Mvar-座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 $a{x}^2+bx+c$ を平方完成して

$y=a(x-h{)}^2+k$

これのグラフは、放物線 $y=a{x}^2$ を テンプレート:Mvar軸方向に $h$、テンプレート:Mvar軸方向に $k$ 平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は

$(h,k)$

であることが分かる。軸の方程式は

$x=h$

である。

テンプレート:Math の場合、テンプレート:Math で最小値 テンプレート:Mvar をとる。

テンプレート:Math の場合、テンプレート:Math で最大値 テンプレート:Mvar をとる。

応用

積分

不定積分

$\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$

の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

または

$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

に帰着できる（$C$は積分定数）。

複素数

テンプレート:Mvar を複素数とするとき、

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c$

（テンプレート:Mvar は複素数、テンプレート:Mvar は実数）

（テンプレート:Math2 はそれぞれ テンプレート:Math の複素共役）

は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 テンプレート:Math を用いて、式を以下のように変形すると分かる：

$\begin{array}{cc}|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c& =z{z}^{*}-b^{*}z-b{z}^{*}+b{b}^{*}-b{b}^{*}+c\\ & =z(z^{*}-b^{*})-b(z^{*}-b^{*})-|b{|}^2+c\\ & =(z-b)(z^{*}-b^{*})-|b{|}^2+c\\ & =(z-b)(z-b{)}^{*}-|b{|}^2+c\\ & =|z-b{|}^2-|b{|}^2+c\end{array}$

別の例として、テンプレート:Math2 を実数とするとき、

$a{x}^2+b{y}^2$

は、テンプレート:Math のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y$ と置けば

$\begin{array}{cc}|z{|}^2& =z{z}^{*}\\ & =(\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =a{x}^2+b{y}^2\end{array}$

となる。

冪等行列

正方行列 テンプレート:Mvar が冪等とは テンプレート:Math が成り立つことである。

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$

は、$a^2+b^2=a$ ならば冪等行列である。平方完成により

$(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}$

テンプレート:Mvar が実行列なら、これは テンプレート:Mvar-平面において中心 テンプレート:Math、半径 テンプレート:Math の円の方程式である。角度 テンプレート:Mvar を用いて書けば、

$M=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1+\cos \theta \end{array}\right)$

と媒介変数表示できる。

参考文献

• Algebra 1, Glencoe, テンプレート:ISBN2, pp.539-544
• Algebra 2, Saxon, テンプレート:ISBN2, pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlabテンプレート:En icon
• テンプレート:Planetmath reference
• テンプレート:ProofWikiテンプレート:En icon
• How to Complete the Square, Education Portal Academyテンプレート:En icon
• 平方完成のやり方といくつかの発展形 - 高校数学の美しい物語