ボホナー空間

数学の分野におけるボホナー空間（ボホナーくうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、必ずしも実数の空間 R あるいは複素数の空間 C とは限らないバナッハ空間に値を取る関数への、Lp空間の概念の一般化である。

ボホナー空間 L^p(X) は、バナッハ空間 X に値を取るボホナー可測関数 f で、そのノルム ||f||_X が通常の L^p 空間に属するようなもの全ての同値類からなる。したがって、X が複素数の集合であるなら、ボホナー空間は通常のルベーグ空間 L^p となる。

L^p 空間に関するほとんど全ての結果は、ボホナー空間についても同様に得られる。特に、ボホナー空間 L^p(X) は $1\le p\le \mathrm{\infty }$ に対してバナッハ空間である。

背景

ボホナー空間は、ポーランド系アメリカ人数学者のサロモン・ボホナーの名にちなむ。

応用

ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 $g(t,x)$ が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、$(f(t))(x):=g(t,x)$ と書くことで、f を時間についての関数とし、f(t) を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。

定義

測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||_X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 L^p(T; X) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の（等号はほとんど至る所についてのものであるような）コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては

$\Vert u{\Vert }_{L^p(T;X)}:={(\underset{T}{\int }\Vert u(t){\Vert }_X^p\mathrm{d}\mu (t))}^{1/p}<+\mathrm{\infty }\text{ for }1\le p<\mathrm{\infty },$

$\Vert u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(T;X)}:={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{t\in T}\Vert u(t){\Vert }_X<+\mathrm{\infty }$

が成立する。言い換えると、L^p 空間の研究においてよくあるように、L^p(T; X) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、T の μ-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは（より技術的には正しい）同値類と言うよりは、L^p(T; X) の「関数」と言う記号の濫用がよく見受けられる。

偏微分方程式への応用

空間 T は偏微分方程式を解こうとしている時間区間で、μ は一次元ルベーグ測度であるようなことが頻繁にある。ここでのアイデアは、時間および空間の関数を、空間の関数の集まりと見なし、その集まりが時間についてパラメータ付けられるものとすることである。例えば、Rⁿ 内の領域 Ω および時間区間 [0, T] 上の熱方程式の解としては、

$u\in L^2([0,T];H_0^1(\mathrm{\Omega }))$

および時間微分が

$\frac{\partial u}{\partial t}\in L^2([0,T];H^{-1}(\mathrm{\Omega }))$

であるようなものを探すであろう。ここで $H_0^1(\mathrm{\Omega })$ は、一回弱微分可能でその一回弱微分が L²(Ω) に属し、Ω の境界上で（トレースの意味で）消失するような関数からなるソボレフヒルベルト空間を表す。あるいはそのような関数は、Ω にコンパクトな台を持つような滑らかな関数の極限でもある。$H^{-1}(\mathrm{\Omega })$ は $H_0^1(\mathrm{\Omega })$ の双対空間を表す。

（ボホナー空間を使うことで空間依存性は除かれるため、上記の時間 t についての偏微分は実際には全微分である。）

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• ベクトル値関数