位相群の群環

数学において、局所コンパクト群の群環（ぐんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、その群の表現が適当な環の表現の表現として読み替えることができるような（いくつかの）構成法が与えられたときの、その環（ふつうは作用素環あるいはもっと一般のバナハ代数）を総称して呼ぶものである。そういった環は、位相を抜きにして考えた群に対する群環と同じような働きを果たす。

群環 C_c(G)

函数解析学、特に調和解析で用いる目的で、純代数的な群環の構成を位相群 テンプレート:Mvar に対するものへ敷衍することは意味がある。テンプレート:Mvar が局所コンパクトハウスドルフ位相群である場合には、テンプレート:Mvar はハール測度と呼ばれる本質的に一意な左不変可算加法的ボレル測度 テンプレート:Mvar を持ち、ハール測度を用いて テンプレート:Mvar 上のコンパクト台つき複素数値連続函数全体の成す空間 テンプレート:Math の上に畳み込み演算を定義することができる。さらに テンプレート:Math に任意に与えられたノルムによる完備化も群環となり得る。

畳み込み演算は テンプレート:Math の任意の二元 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を、テンプレート:Math において

$[f*g](t)=\underset{G}{\int }f(s)g(s^{-1}t)d\mu (s)$

と置くことによって定められる。事実、テンプレート:Math が連続であることは優収斂定理から直ちに従うし、中黒を テンプレート:Mvar の積として

$\mathrm{supp}(f*g)\subseteq \mathrm{supp}(f)\cdot \mathrm{supp}(g)$

が成り立つから、テンプレート:Math は確かに テンプレート:Math に属する。また テンプレート:Math は

$f^{*}(s)=\overline{f(s^{-1})}\mathrm{\Delta }(s^{-1})$

で定義される対合も持つ。ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のモジュラスである。この対合のもとで テンプレート:Math は *-環を成す。

定理

ノルム

$\Vert f{\Vert }_1:=\underset{G}{\int }|f(s)|d\mu (s)$

のもとで テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクもつ対合ノルム代数を成す。

この代数の近似単位元はコンパクト集合からなる（群の）単位元の近傍基で添字付けることができる。実際、テンプレート:Mvar を単位元のコンパクト近傍とし、テンプレート:Mvar に台を持つ非負連続函数 テンプレート:Math が

$\underset{V}{\int }{f}_V(g)d\mu (g)=1$

を満たすものをとれば、テンプレート:Math が近似単位元となる。群環が（単に近似単位元であるばかりではなく厳密な）単位元をもつための必要十分条件は、もとの群の位相が離散位相であることである。

離散群の場合の テンプレート:Math は複素係数の群環 テンプレート:Math と同じものであることに注意。

この群環の重要性は、これが テンプレート:Mvar のユニタリ表現論を以下に述べるような意味で的確に捉えることができるという点にある。

定理

テンプレート:Mvar を局所コンパクト群、テンプレート:Mvar をヒルベルト空間 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の強連続ユニタリ表現とすると、

${\pi }_U(f)=\underset{G}{\int }f(g)U(g)d\mu (g)$

はノルム代数 テンプレート:Math の非退化有界 ∗-表現であり、写像

$U\mapsto {\pi }_U$

は テンプレート:Mvar の強連続ユニタリ表現全体の成す集合と テンプレート:Math の非退化有界 ∗-表現との間の全単射となる。この全単射はユニタリ同値と強束縛に矛盾しない。特に テンプレート:Math が既約であることと、テンプレート:Mvar が既約であることとは同値である。

ここで、ヒルベルト空間 テンプレート:Math における テンプレート:Math の表現 テンプレート:Mvar が非退化であるとは、

$\{\pi (f)\xi :f\in C_c(G),\xi \in H_{\pi }\}$

が テンプレート:Math において稠密であることを言う。

畳み込み代数 テンプレート:Math

測度論の標準的な定理により、テンプレート:Math の テンプレート:Math-ノルムによる完備化はハール測度に関して可積分な函数（のふつうはハール測度零の集合上でのみ異なるような函数を同一視したもの）全体の成す空間[[ルベーグ空間|テンプレート:Math]]に同型である。

定理

テンプレート:Math は畳み込み積、上述の対合、テンプレート:Math-ノルム のもとで バナハ ∗-環を成す。テンプレート:Math は有界な近似単位元も持つ。

群 テンプレート:Math-環 テンプレート:Math

以下、テンプレート:Math は離散群 テンプレート:Mvar の群環とする。

局所コンパクト群 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar の群 [[C*-環|テンプレート:Math-環]] テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math-展開環、すなわち テンプレート:Mvar がヒルベルト空間における テンプレート:Math の非退化 テンプレート:Math-表現の全てを亙るときの最大 テンプレート:Math-ノルム

$\Vert f{\Vert }_{C^{*}}:=\underset{\pi }{\sup }\Vert \pi (f)\Vert$

に関する テンプレート:Math の完備化として定義される。テンプレート:Mvar が離散のときは三角不等式により、そのような テンプレート:Mvar の何れに対しても三角不等式

$\Vert \pi (f)\Vert \le \Vert f{\Vert }_1$

が成り立つから、このノルムは矛盾なく定まる。

定義により、テンプレート:Mathは以下の普遍性を持つ。

テンプレート:Math から適当な テンプレート:Math（適当なヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界作用素全体の成す テンプレート:Math-環）への任意の テンプレート:Math-準同型は包含写像

$ℂ[G]\hookrightarrow C^{*}(G)$

を経由する。

被約群 テンプレート:Math-環 テンプレート:Math

被約群 テンプレート:Math-環 テンプレート:Math はノルム

$\Vert f{\Vert }_{C_r^{*}}:=\sup \{\Vert f*g{\Vert }_2:\Vert g{\Vert }_2=1\}$

に関する テンプレート:Math の完備化である。ただし、

$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{\underset{G}{\int }|f{|}^{2}d\mu }$

は テンプレート:Math-ノルムとする。テンプレート:Math の テンプレート:Math-ノルムに関する完備化はヒルベルト空間であるから、この テンプレート:Math-ノルムは テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar を畳み込む作用による有界作用素のノルムであり、従って テンプレート:Math-ノルムになる。

あるいは同じことだが、テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の左正則表現の像全体で生成される テンプレート:Math-環である。

一般に テンプレート:Math は テンプレート:Math の商であり、この被約群 テンプレート:Math-環が先の非被約群 テンプレート:Math-環と同型となる必要十分条件は テンプレート:Mvar が従順であることである。

群フォンノイマン環

テンプレート:Mvar の群フォンノイマン環 テンプレート:Math は テンプレート:Math の展開フォンノイマン環である。

テンプレート:Mvar が離散群のときは、ヒルベルト空間 テンプレート:Math において テンプレート:Mvar はその正規直交基底になる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に基底ベクトルの置換として作用するから、複素群環 テンプレート:Math を テンプレート:Math 上の有界作用素全体の成す多元環の部分多元環と同一視することができるが、この部分多元環の弱閉包 テンプレート:Math はフォンノイマン環である。

テンプレート:Math の中心は共軛類が有限となるような テンプレート:Mvar の元を用いて記述することができる。特に、テンプレート:Mvar の単位元がそのような性質を持つ唯一の元である（つまり、テンプレート:Mvar がテンプレート:仮リンク を持つ）ならば テンプレート:Math の中心は単位元の複素数倍のみからなる。

テンプレート:Math がテンプレート:仮リンクに同型となるための必要十分条件は、可算従順かつ無限共軛類性質を持つことである。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 接合環 (incidence algebra)
• 道代数
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• J, Dixmier, C* algebras, ISBN 0-7204-0762-1
• A. A. Kirillov, Elements of the theory of representations, ISBN 0-387-07476-7
• L. H. Loomis, "Abstract Harmonic Analysis", ASIN B0007FUU30
• テンプレート:SpringerEOM