自由加群

数学において、自由加群(じゆうかぐん、テンプレート:Lang-en-short) とは、加群の圏におけるテンプレート:仮リンクである。集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar 上の自由加群とは テンプレート:Mvar を基底 にもつ自由加群である。たとえば、すべてのベクトル空間は自由であり、集合上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。

定義

テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar について、集合 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。

1. テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を生成する。すなわち、テンプレート:Mvar の任意の元は テンプレート:Mvar の元に テンプレート:Mvar の係数をかけたものの有限和である。
2. テンプレート:Mvar は一次独立である。すなわち、任意の テンプレート:Mvar の互いに異なる有限個の元 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ に対して $r_1{e}_1+r_2{e}_2+\cdots +r_n{e}_n=0_M$ であれば、$r_1=r_2=\cdots =r_n=0_R$ となる。（ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の零元で、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の零元である。）

テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar が基底をもつとき、テンプレート:Mvar は自由加群であるという。

テンプレート:Mvar が 基底数一定性質 (IBN) をもてば、定義によって任意の2つの基底は同じ濃度をもつ。勝手な（したがってすべての）基底の濃度を自由加群 テンプレート:Mvar のランク（階数）と言い、濃度が有限ならば、テンプレート:Mvar をランク テンプレート:Mvar の自由加群、あるいは単に有限ランクの自由加群と言う。

(2) から直ちにわかることだが、(1) の係数はすべての テンプレート:Mvar について一意的である。

無限自由基底の定義は、テンプレート:Mvar が無限に多くの元をもつことを除いて、同様である。しかしながら、和は有限であり、どの テンプレート:Mvar についても テンプレート:Mvar の有限個の元しか含まれない。

基底が無限のとき、テンプレート:Mvar のランクは テンプレート:Mvar の濃度である。

構成

集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar 上の自由 テンプレート:Mvar-加群を作ることができる。それは単純に テンプレート:Mvar の[[濃度 (数学)|テンプレート:Math]] 個のコピーの直和であり、しばしば テンプレート:Math と表記される。この直和を テンプレート:Math と表記し、具体的に構成しよう。

• 台集合： テンプレート:Math は次のような関数からなる。テンプレート:Math であって、有限個を除くすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math である。
• 加法： 2つの元 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math を テンプレート:Math で定義する。
• 反元： テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math を テンプレート:Math で定義する。
• スカラー倍： テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math を テンプレート:Math で定義する。

テンプレート:Math の基底は集合 テンプレート:Math によって与えられる。ただし

${\delta }_a(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{if }x=a;\\ 0,& \text{if }x\ne a\end{array}$

である。（クロネッカーのデルタの変形であり、 集合 テンプレート:Math の指示関数の特別な場合である。）

写像 テンプレート:Math を テンプレート:Math で定義する。この写像は テンプレート:Mvar と基底ベクトル テンプレート:Math} の間の全単射を与える。 従ってこれらの集合を同一視できる。よって テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の線型独立な基底と考えることができる。

普遍性

上で定義された写像 テンプレート:Math は次のような意味で普遍的である。

自由加群の普遍性

任意の テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar と任意の写像 $\phi :E\to M$ に対して、$\phi =\psi \circ \iota$ を満たす加群準同型 $\psi :C(E)\to M$ が一意的に存在する。

さらに自由加群の構成を関手 $C:𝒮ℯ𝓉\to R\mathrm{-}ℳℴ𝒹$ としてみれば、これは忘却関手 $U:R\mathrm{-}ℳℴ𝒹\to 𝒮ℯ𝓉$ の左随伴であること、つまり自然同型

$𝒮ℯ𝓉(E,U(M))\cong R\mathrm{-}ℳℴ𝒹(C(E),M)$

がわかる。

一般化

自由加群についての多くのステートメントは、一般の環上の加群については成り立たないが、自由加群のある種の一般化に対してはなお成り立つ。射影加群は自由加群の直和因子なので、自由加群への単射が存在し、その基底を射影加群に関する何らかの証明で使うことができる。より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。

Module properties in commutative algebra

局所環、完全環、デデキント環を見よ。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:SpringerEOM.

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 射影対象
• 斜体 - すべての左加群が自由加群となる環

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM

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