チャーン・ヴェイユ準同型

チャーン・ヴェイユ準同型（テンプレート:Lang-en-short）とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。

$𝕂$ により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 $𝔤$ を持っているとする。

$𝕂({𝔤}^{*})$

で、$𝔤$ の上の $𝕂$ に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$ を G の随伴作用の下で次の条件を満たす $𝕂({𝔤}^{*})$ の固定点のなす部分代数とする。すべての $f\in 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}.$ に対して、

$f(t_1,\dots ,t_k)=f(A{d}_g{t}_1,\dots ,A{d}_g{t}_k)$

チャーン・ヴェイユ準同型は、$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$ からコホモロジー代数（環） $H^{*}(M,𝕂)$ への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 B^G のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環）$𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$ に同型である。

$H^{*}(B^G,𝕂)\cong 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}.$

SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。

準同型の定義

P の中の任意の接続形式 ω を選び、$\mathrm{\Omega }$ を ω についての曲率 2-形式とする。$f\in 𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}$ が次数 k の同次多項式として、$f(\mathrm{\Omega })$ を

$f(\mathrm{\Omega })(X_1,\dots ,X_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_{2k}}{ϵ}_{\sigma }f(\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに ${ϵ}_{\sigma }$ は 2k 個の対称群 ${𝔖}_{2k}$ の置換の符号 $\sigma$ である。 テンプレート:See also

すると次のことが示される。

$f(\mathrm{\Omega })$

は閉形式であり、

$df(\mathrm{\Omega })=0,$

で、ド・ラームコホモロジー類

$f(\mathrm{\Omega })$

は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。

このようにして f から得られるコホモロジー類

$\varphi (f)$

について、代数（環）準同型

$\varphi :𝕂({𝔤}^{*}{)}^{Ad(G)}\to H^{*}(M,𝕂).$

を得る。

参考文献

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

  The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• 特性類と幾何学　森田茂之著　岩波書店