ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数テンプレート:Mvar はテンプレート:Math を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、テンプレート:Mvar が有理数であると仮定して矛盾を導く。テンプレート:Mvar が無理数であることの証明は、[[円周率の無理性の証明|円周率テンプレート:Mvar が無理数であることの証明]]よりずっと易しい。テンプレート:Mvar の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots

以下、これをテンプレート:Mvar の定義として無理数であることを証明する。

証明

テンプレート:Math を満たす自然数テンプレート:Mvar が存在すると仮定するとテンプレート:Math は以下のように展開される。

\begin{matrix} b! \cdot e & = (b! + \frac{b!}{1!} + \frac{b!}{2!} + \frac{b!}{3!} + \dots + \frac{b!}{b!}) \\ + {\frac{b!}{(b + 1)!} + \frac{b!}{(b + 2)!} + \frac{b!}{(b + 3)!} + \dots} . \end{matrix}

左辺は $b! \cdot e = b! \cdot \frac{a}{b} = a (b - 1)!$ であるから自然数である。右辺は (　) 内のテンプレート:Math からテンプレート:Math までの項は全て自然数であるが、{　} 内のテンプレート:Math 以降の全ての項の和は、テンプレート:Mvar がテンプレート:Math 以上であることから

\begin{matrix} {\frac{b!}{(b + 1)!} + \frac{b!}{(b + 2)!} + \frac{b!}{(b + 3)!} + \dots} \\ = \frac{1}{(b + 1)} + \frac{1}{(b + 1) (b + 2)} + \frac{1}{(b + 1) (b + 2) (b + 3)} + \dots \\ < \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots = 1 \end{matrix}

と 1 未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえにテンプレート:Math を満たす自然数テンプレート:Mvar が存在するという仮定は誤りである。

一般に、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math でない有理数とすると、テンプレート:Mvar は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている^[1]。