ベクトル解析の公式の一覧

ベクトル解析の公式の一覧（ベクトルかいせきのこうしきのいちらん）では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。

内積と外積

ここで $𝐀$, $𝐁$, $𝐂$ は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る（アインシュタインの縮約記法）。${ϵ}_{ijk}$ はレヴィ＝チヴィタ記号、$\theta$ は $𝐀$, $𝐁$ がなす角である。

内積

$𝐀\cdot 𝐁=A_i{B}_i=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z=|𝐀||𝐁|\cos \theta$

$𝐀\cdot 𝐁=𝐁\cdot 𝐀$

外積

$𝐀\times 𝐁=({ϵ}_{ijk}{A}_j{B}_k){𝐞}_i=(A_y{B}_z-A_z{B}_y){𝐞}_x+(A_z{B}_x-A_x{B}_z){𝐞}_y+(A_x{B}_y-A_y{B}_x){𝐞}_z$

$𝐀\times 𝐁=-𝐁\times 𝐀$

$|𝐀\times 𝐁|=|𝐀|𝐁|\sin \theta$

スカラー三重積

$𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂)=𝐁\cdot (𝐂\times 𝐀)=𝐂\cdot (𝐀\times 𝐁)$

ベクトル三重積

$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=(𝐀\cdot 𝐂)𝐁-(𝐀\cdot 𝐁)𝐂$

ヤコビ恒等式

$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)+𝐁\times (𝐂\times 𝐀)+𝐂\times (𝐀\times 𝐁)=0$

四重積

$(𝐀\times 𝐁)\cdot (𝐂\times 𝐃)=(𝐀\cdot 𝐂)(𝐁\cdot 𝐃)-(𝐀\cdot 𝐃)(𝐁\cdot 𝐂)$

$(𝐀\times 𝐁)\times (𝐂\times 𝐃)=[𝐀\cdot (𝐂\times 𝐃)]𝐁-[𝐁\cdot (𝐂\times 𝐃)]𝐀$

微分公式

ここで $𝐀$, $𝐁$ は任意のベクトル場, $f$ は任意のスカラー場である。

$\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐀)=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐀+f\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐀\times 𝐁)=𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)-𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)$

$\mathrm{\nabla }\times (f𝐀)=\mathrm{\nabla }f\times 𝐀+f\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

$\mathrm{\nabla }\times (𝐀\times 𝐁)=(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-𝐁(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=\overrightarrow{0}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

ヘルムホルツ分解

$𝐁=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

積分公式

ここで $𝐀$, $𝐁$, $𝐂$ は任意のベクトル場, $f$, $g$ は任意のスカラー場である。また, $V$ は空間領域, $\partial V$ はその境界, $S$ は面, $𝐧$ はその法線ベクトル ($S=\partial V$ の場合 $𝐧$ は外向きに取る), $d𝐒=𝐧dS$ は面要素ベクトルである。閉曲線 $\partial S$ に関する線積分 $d𝐫$ は法線 $𝐧$ に対応する向きとする。

ガウスの発散定理および関連する公式（最後の等式はグリーンの定理である）

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀dV={\oint }_{\partial V}𝐀\cdot d𝐒$

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }fdV={\oint }_{\partial V}fd𝐒$

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐀dV={\oint }_{\partial V}d𝐒\times 𝐀$

$\underset{V}{\int }(f{\mathrm{\nabla }}^{2}g-g{\mathrm{\nabla }}^{2}f)dV={\oint }_{\partial V}(f\mathrm{\nabla }g-g\mathrm{\nabla }f)\cdot d𝐒$

ストークスの定理および関連する公式

$\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot d𝐒={\oint }_{\partial S}𝐀\cdot d𝐫$

$\underset{S}{\int }d𝐒\times \mathrm{\nabla }f={\oint }_{\partial S}fd𝐫$

$\underset{S}{\int }(d𝐒\times \mathrm{\nabla })\times 𝐀={\oint }_{\partial S}d𝐫\times 𝐀$

曲線座標

曲線座標における勾配、発散、回転、ラプラシアン、物質微分の公式。

円柱座標

円柱座標 $(r,\theta ,z)$ と直交座標 $(x,y,z)$ の変換

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}\\ z=z\end{array}$

単位基底ベクトル

${𝐞}_r=\cos \theta {𝐞}_x+\sin \theta {𝐞}_y$

${𝐞}_{\theta }=-\sin \theta {𝐞}_x+\cos \theta {𝐞}_y$

${𝐞}_z={𝐞}_z$

計量

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+d{z}^2$

体積要素

$dV=rdrd\theta dz$

勾配

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z$

発散

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

回転

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial z}){𝐞}_r+(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}){𝐞}_{\theta }+[\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\theta })-\frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]{𝐞}_z$

ラプラシアン (スカラー場)

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

ラプラシアン (ベクトル場)

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_r={\mathrm{\nabla }}^2{A}_r-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{A_r}{r^2}$

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_{\theta }={\mathrm{\nabla }}^2{A}_{\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2}$

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_z={\mathrm{\nabla }}^2{A}_z$

物質微分

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_r=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_r-\frac{A_{\theta }{B}_{\theta }}{r}$

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_{\theta }=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_{\theta }+\frac{A_{\theta }{B}_r}{r}$

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_z=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_z$

球座標

球座標 $(r,\theta ,\varphi )$ と直交座標 $(x,y,z)$ の変換

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin \varphi \\ z=r\cos \theta \end{array}\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta ={\cos }^{-1}\frac{z}{r}\\ \varphi ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}\end{array}$

単位基底ベクトル

${𝐞}_r=\sin \theta \cos \varphi {𝐞}_x+\sin \theta \sin \varphi {𝐞}_y+\cos \theta {𝐞}_z$

${𝐞}_{\theta }=\cos \theta \cos \varphi {𝐞}_x+\cos \theta \sin \varphi {𝐞}_y-\sin \theta {𝐞}_z$

${𝐞}_{\varphi }=-\sin \varphi {𝐞}_x+\cos \varphi {𝐞}_y$

計量

$d{s}^2=d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

体積要素

$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

勾配

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{𝐞}_{\varphi }$

発散

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{A}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta A_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }$

回転

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\frac{1}{r\sin \theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta A_{\varphi })-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }]{𝐞}_r+\frac{1}{r}[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }-\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\varphi })]{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r}[\frac{\partial }{\partial r}(r{A}_{\theta })-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }]{𝐞}_{\varphi }$

ラプラシアン (スカラー場)

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

ラプラシアン (ベクトル場)

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_r={\mathrm{\nabla }}^2{A}_r-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }-\frac{2A_r}{r^2}-\frac{2\cot \theta A_{\theta }}{r^2}$

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_{\theta }={\mathrm{\nabla }}^2{A}_{\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{2\cot \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }-\frac{A_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }$

$[{\mathrm{\nabla }}^2𝐀{]}_{\varphi }={\mathrm{\nabla }}^2{A}_{\varphi }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }+\frac{2\cot \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }-\frac{A_{\varphi }}{r^2{\sin }^2\theta }$

物質微分

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_r=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_r-\frac{A_{\theta }{B}_{\theta }+A_{\varphi }{B}_{\varphi }}{r}$

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_{\theta }=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_{\theta }+\frac{A_{\theta }{B}_r}{r}-\frac{A_{\varphi }{B}_{\varphi }\cot \theta }{r}$

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_{\varphi }=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })B_z+\frac{A_{\varphi }{B}_r}{r}+\frac{A_{\varphi }{B}_{\theta }\cot \theta }{r}$

直交曲線座標

3次元ユークリッド空間 ${ℝ}^3$ の曲線座標 $x^i$ について、その座標系で計量が

$d{s}^2=\sum _{i=1}^3{h}_i(x{)}^2(d{x}^i{)}^2$

という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを ${𝐞}_i$ とする。

体積要素

$dV=hd{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3,h=h_1{h}_2{h}_3$

勾配

$\mathrm{\nabla }f=\sum _{i=1}^3\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial x^i}{𝐞}_i$

発散

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\sum _{i=1}^3\frac{1}{h}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{h}{h_i}{A}_i\right)$

回転

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\sum _{i=1}^3{𝐞}_i\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{ϵ}_{ijk}\frac{h_i}{h}\frac{\partial (h_k{A}_k)}{\partial x^j}$

ラプラシアン (スカラー場)

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\sum _{i=1}^3\frac{1}{h}\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{h}{h_i^2}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)$

物質微分

$[(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁{]}_i=\sum _{k=1}^3[\frac{A_k}{h_k}\frac{\partial B_i}{\partial x_k}+(A_i\frac{\partial h_i}{\partial x_k}-A_k\frac{\partial h_k}{\partial x_i})\frac{B_k}{h_k{h}_i}]$