モレラの定理

数学の一分野である複素解析におけるモレラの定理（モレラのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:仮リンクの名にちなむ定理で、函数が正則であるか判別するための重要な指標を与えるものである。

数学的な記述

モレラの定理では、複素平面内のある連結開集合 テンプレート:Mvar 上で定義される連続な複素数値函数 テンプレート:Mvar で、テンプレート:Mvar 内のすべての区分的 テンプレート:Math 閉曲線 テンプレート:Mvar に対して

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0$

を満たすものは、必ず テンプレート:Mvar 上で正則であると述べられている。

モレラの定理の仮定は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上に原始関数を持つことと同値である。

この定理の逆は一般には成り立たない。正則函数は、付加的な仮定が課されない限り、その定義域上に不定積分を持つとは必ずしも言えない。例えば定義域が単連結であれば、そのような逆は成立する。これは、閉曲線に沿った正則函数の線積分はゼロであることを述べたコーシーの積分定理による。

一方、区分的 テンプレート:Math 級閉曲線の代わりに内部および周が テンプレート:Mvar に含まれる三角形の境界に限っても定理は成り立ち、さらに逆も成り立つ（後述）。こちらもモレラの定理と呼ばれる。

証明

この定理には比較的簡単な証明が存在する。

一般性を失うことなく、テンプレート:Mvar は連結空間であるとしてよい。テンプレート:Mvar 内のある点 テンプレート:Math を固定し、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を テンプレート:Math および テンプレート:Math を満たすような区分的 テンプレート:Math 曲線とする。このとき、函数 テンプレート:Mvar を次のように定める。

$F(z)=\underset{\gamma }{\int }f(\zeta )d\zeta .$

この函数が well-defined であることを確かめるために、テンプレート:Math および テンプレート:Math を満たす別の区分的 テンプレート:Math 曲線 テンプレート:Math を定める。このとき曲線 テンプレート:Math（すなわち、テンプレート:Mvar と逆向きの テンプレート:Mvar を組み合わせた曲線）は テンプレート:Mvar 内の区分的 テンプレート:Math 閉曲線である。すると

$\underset{\gamma }{\int }f(\zeta )d\zeta +\underset{{\tau }^{-1}}{\int }f(\zeta )d\zeta ={\oint }_{\gamma {\tau }^{-1}}f(\zeta )d\zeta =0$

が成立し、したがって

$\underset{\gamma }{\int }f(\zeta )d\zeta =\underset{\tau }{\int }f(\zeta )d\zeta$

が成立する。

すると テンプレート:Mvar の連続性を用いて平均変化率を評価すると、テンプレート:Math を得る。ここで、微分積分学の基本定理や平均値の定理は、実数値に関するものであるため利用できないことに注意されたい。

すると テンプレート:Mvar は正則函数 テンプレート:Mvar の導函数であるため、それ自身が正則である。正則関数の導関数が正則であるという事実は、正則関数は解析的である、すなわち収束冪級数によって書けるという事実と、冪級数は項別微分できるという事実を用いて、証明できる。これで証明は完成される。

応用

モレラの定理は複素解析における標準的な道具であり、正則函数の非代数的な構成を含むほとんどすべての議論において利用することが出来る。

一様極限

例えば、ある開円板上の連続函数 テンプレート:Mvar に一様収束する正則函数の列 テンプレート:Math を考える。コーシーの積分定理より、すべての テンプレート:Mvar と円板内の任意の閉曲線 テンプレート:Mvar に対して

${\oint }_C{f}_n(z)dz=0$

が成立する。このとき一様収束であることは、任意の閉曲線 テンプレート:Mvar に対して

${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_C\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)dz=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\oint }_C{f}_n(z)dz=0$

が成立することを意味し、したがってモレラの定理より テンプレート:Mvar は正則となる。この事実から、任意の開集合 テンプレート:Math に対し、すべての有界かつ解析的な函数 テンプレート:Math の集合 テンプレート:Math は、上限ノルムに関してバナッハ空間となることが従う。

無限和と積分

モレラの定理は、フビニの定理やワイエルシュトラスのM判定法と組み合わせることで、和や積分によって定義される函数の解析性を示すために利用することが出来る。例えばリーマンゼータ函数

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

やガンマ函数

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$

を考える。任意の適切な閉曲線 テンプレート:Mvar に対し、

${\oint }_C\mathrm{\Gamma }(\alpha )d\alpha =0$

が示される。実際、

${\oint }_C\mathrm{\Gamma }(\alpha )d\alpha ={\oint }_C\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dxd\alpha$

と記述すると、積分の順序交換にフビニの定理を用いることが出来、

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\oint }_C{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}d\alpha dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\oint }_C{x}^{\alpha -1}d\alpha dx$

が得られる。すると テンプレート:Math の解析性から

${\oint }_C{x}^{\alpha -1}d\alpha =0$

となり、したがって上述の二重積分は テンプレート:Math であることが示される。ゼータ函数の場合、M判定法によって閉曲線に沿った積分と直和の順序交換を行うことが出来、同様の結果が得られる。

仮定を弱める場合

モレラの定理の仮定は相当に弱めることが出来る。特に、領域 テンプレート:Mvar に含まれる任意の閉三角形領域 テンプレート:Mvar に対して

${\oint }_{\partial T}f(z)dz$

が テンプレート:Math であれば十分である。これは実は、正則性を特徴付けるものである。すなわち、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上で正則であるための必要十分条件が、この条件である。

これを用いると、例えば鏡像の原理を証明することができる。

関連項目

• コーシー・リーマンの方程式
• テンプレート:仮リンク
• 留数
• ミッタク＝レフラーの定理

参考文献

• テンプレート:Citation.
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• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• Module for Morera's Theorem by John H. Mathews
• EoM article