ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理 (Jacobi's two square theorem) は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

$r_2(N)=4\sum _{2\nmid d\mid N}(-1{)}^{\frac{d-1}{2}}$

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

具体例

例えば、

$r_2(25)=4((-1{)}^{\frac{1-1}{2}}+(-1{)}^{\frac{5-1}{2}}+(-1{)}^{\frac{25-1}{2}})=12$

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

$\begin{array}{cc}25& =(\pm 5{)}^2+0^2\\ & =0^2+(\pm 5{)}^2\\ & =(\pm 4{)}^2+(\pm 3{)}^2\\ & =(\pm 3{)}^2+(\pm 4{)}^2\\ \end{array}$

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

証明

テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

$\begin{array}{cc}F(v)& =\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{{\vartheta }_1(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau )}\right)=\frac{{{\vartheta }_1}^{\prime }(v,\tau ){\vartheta }_2(v,\tau )-{\vartheta }_1(v,\tau ){{\vartheta }_2}^{\prime }(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau {)}^2}\\ G(v)& =\left(\frac{{\vartheta }_3(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau )}\right)\left(\frac{{\vartheta }_4(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau )}\right)=\frac{{\vartheta }_3(v,\tau ){\vartheta }_4(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau {)}^2}\\ \end{array}$

$F(v)$と$G(v)$は共に楕円関数である。且つ、

$\begin{array}{cc}& {{\vartheta }_1}^{\prime }(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2})={{\vartheta }_2}^{\prime }(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2})=0\\ & {{\vartheta }_1}^{\prime }(v+\frac{\tau }{2})={{\vartheta }_2}^{\prime }(v+\frac{\tau }{2})=0\\ \end{array}$

であるから、$G(v)=0$となるところにおいて悉く$F(v)=0$となり、リウヴィルの定理によって$F(v)/G(v)$は定数である。$v\to 0$として

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_1(0,\tau )=0\\ & {{\vartheta }_1}^{\prime }(0,\tau )=\pi {\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_4(0,\tau )\\ \end{array}$

により、$F(0)=\pi {\vartheta }_2(0,\tau {)}^{2}G(0)$を得る。従って、

$F\left(v\right)=\frac{\pi {\vartheta }_2(0,\tau {)}^2{\vartheta }_3(v,\tau ){\vartheta }_4(v,\tau )}{{\vartheta }_2(v,\tau {)}^2}$

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、$v=\frac{1}{4}$を代入し、$q=e^{\pi i\tau }$と書くと

$\begin{array}{cc}F\left(\frac{1}{4}\right)& =\frac{\pi {\left(2q^{1/4}\right)}^2}{{\left(2q^{1/4}\right)}^2{\cos }^2\frac{\pi }{4}}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{2m}{)}^2(1+q^{2m}{)}^4(1-q^{2m})(1+i{q}^{2m-1})(1-i{q}^{2m-1})(1-q^{2m})(1-i{q}^{2m-1})(1+i{q}^{2m-1})}{(1-q^{2m}{)}^2(1+i{q}^{2m}{)}^2(1-i{q}^{2m}{)}^2}\\ & =2\pi \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{2m}{)}^2(1+q^{2m}{)}^4(1+i{q}^{2m-1}{)}^2(1-i{q}^{2m-1}{)}^2}{(1+i{q}^{2m}{)}^2(1-i{q}^{2m}{)}^2}\\ & =2\pi \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{4m}{)}^2(1+q^{2m}{)}^2(1+q^{4m-2}{)}^2}{(1+q^{4m}{)}^2}\\ & =2\pi \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-q^{4m}{)}^2(1+q^{4m}{)}^2(1+q^{4m-2}{)}^2(1+q^{4m-2}{)}^2}{(1+q^{4m}{)}^2}\\ & =2\pi \prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{4m}{)}^2(1+q^{4m-2}{)}^4\\ \end{array}$

となり、ヤコビの三重積の公式により

$\begin{array}{cc}F\left(\frac{1}{4}\right)& =2\pi {\left(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2n^2}\right)}^2=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(n^2+m^2)}\end{array}$

となる。一方、

$\begin{array}{cc}& {\vartheta }_2\left(v\right)={\vartheta }_1(\frac{1}{2}-v)\\ & {{\vartheta }_2}^{\prime }\left(v\right)={{\vartheta }_1}^{\prime }(\frac{1}{2}-v)\\ \end{array}$

であるから

$\begin{array}{cc}F\left(\frac{1}{4}\right)& =\frac{{{\vartheta }_1}^{\prime }\left(\frac{1}{4}\right){\vartheta }_2\left(\frac{1}{4}\right)-{\vartheta }_1\left(\frac{1}{4}\right){{\vartheta }_2}^{\prime }\left(\frac{1}{4}\right)}{{\vartheta }_2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{2{{\vartheta }_1}^{\prime }\left(\frac{1}{4}\right)}{{\vartheta }_1\left(\frac{1}{4}\right)}\\ \end{array}$

であり、テータ関数の対数微分の公式により

$\begin{array}{cc}F\left(\frac{1}{4}\right)& =2\pi \cot \frac{\pi }{4}+8\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}}\sin \frac{\pi n}{2}\\ & =2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}(-1{)}^k(n\to 2k+1)\\ & =2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2j(2k+1)}\\ \end{array}$

である。以上により、

$\frac{F\left(\frac{1}{4}\right)}{2\pi }=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2(n^2+m^2)}=1+4\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{2j(2k+1)}$

が得られ、$q^{2N}$の係数を比較することにより、

$r_2(N)=4\sum _{2\nmid d\mid N}(-1{)}^{\frac{d-1}{2}}$

が得られる。

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