伴う素イデアル

抽象代数学において，環 テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に伴う素イデアル（テンプレート:Lang-en-short）あるいは テンプレート:Mvar の素因子とは，テンプレート:Mvar の（素）部分加群の零化イデアルとして生じる テンプレート:Mvar の素イデアルのタイプである．素因子全体の集合は通常 テンプレート:Math と書かれる．

可換環論において，素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている．具体的には，イデアル テンプレート:Mvar が準素イデアルの有限交叉として分解されているとき，これらの準素イデアルの根基は素イデアルであり，素イデアルたちのこの集合は テンプレート:Math と一致するテンプレート:Sfn．またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは，孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である．

定義

零でない テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が prime module であるとは，テンプレート:Mvar の任意の非零部分加群 テンプレート:Mvar に対して零化イデアル ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N)={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N^{\prime })$ となることである．prime module テンプレート:Mvar に対し，${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N)$ は テンプレート:Mvar の素イデアルであるテンプレート:Sfn．

テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に伴う素イデアル (associated prime) とは，テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の prime submodule として テンプレート:Math の形のイデアルのことである．可換環論における通常の定義は異なるが同値であるテンプレート:Sfn：テンプレート:Mvar が可換であるとき，テンプレート:Mvar に伴う素イデアル テンプレート:Mvar とは，テンプレート:Mvar の非零元 テンプレート:Mvar に対して ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(m)$ の形の素イデアル，あるいは同じことであるが，テンプレート:Math が テンプレート:Mvar のある部分加群に同型な素イデアルのことである．

可換環 テンプレート:Mvar において，テンプレート:Math における（集合論的包含に関する）極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ，残りの素因子（すなわちある素因子を真に含むもの）は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる．

加群が coprimary であるとは，ある テンプレート:Math に対して テンプレート:Math ならばある正の整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となることをいう．可換ネーター環上の零でない有限生成加群 テンプレート:Mvar が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である．テンプレート:Mvar の部分加群 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-primary とは，テンプレート:Math が テンプレート:Mvar で coprimary なことをいう．イデアル テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-準素イデアルであることと テンプレート:Math は同値である；したがって概念は準素イデアルの一般化である．

性質

これらの性質や主張のほとんどは テンプレート:Harv の86ページ以降に与えられている．

• テンプレート:Math ならば，テンプレート:Math である．さらに テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の本質部分加群ならば，それらの素因子は一致する．
• 可換局所環に対してさえ，有限生成加群の素因子の集合が空であることはあり得る．しかしながら，イデアルについての昇鎖条件を満たす任意の環（例えば右あるいは左ネーター環）において，すべての非零加群は少なくとも一つの素因子を持つ．
• 任意の一様加群は 0 個か 1 個の素因子を持ち，一様加群は coprimary module の例である．
• 片側ネーター環に対して，直既約移入加群の同型類の集合からスペクトル テンプレート:Math の上への全射がある．テンプレート:Mvar がアルティン環ならばこの写像は全単射になる．
• Matlis' Theorem: 可換ネーター環 テンプレート:Mvar に対して，直既約移入加群の同型類からスペクトルへの写像は全単射である．さらに，それらの類の完全代表系は $E(R/𝔭)$ で与えられる，ただし テンプレート:Math は移入包絡であり，$𝔭$ は テンプレート:Mvar の素イデアル全体を渡る．
• 任意の環上のネーター加群 テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Mvar の素因子は有限個しか存在しない．

以下の性質は全て可換ネーター環 テンプレート:Mvar に対するものである：

• すべてのイデアル テンプレート:Mvar は（準素分解を通して）準素イデアルの有限交叉として表せる．これらのイデアルのそれぞれの根基は素イデアルであり，これらの素イデアルはちょうど テンプレート:Math の元たちである．とくに，イデアル テンプレート:Mvar が準素イデアルであることと テンプレート:Math がちょうど1つの元を持つことは同値である．
• イデアル テンプレート:Mvar を含む任意のテンプレート:仮リンクは テンプレート:Math に入る．これらの素イデアルはちょうど孤立素因子である．
• テンプレート:Mvar の素因子の集合論的和はちょうど テンプレート:Mvar の零因子，つまり，テンプレート:Math となるある テンプレート:Math が存在するような元 テンプレート:Mvar, の全体の集合である．
• テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上の有限生成加群ならば，部分加群の有限昇鎖列

$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_n=M$

であって各商 テンプレート:Math がある素イデアル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math に同型であるようなものが存在する．さらに，テンプレート:Mvar のすべての素因子は素イデアル テンプレート:Mvar の集合に現れる．（一般にはすべての素イデアル テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の素因子であるわけではない．）

• テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の積閉集合とし，テンプレート:Math を自然な写像とする．このとき，テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に対して，

  ${\mathrm{Ass}}_R(S^{-1}M)=f({\mathrm{Ass}}_{S^{-1}R}(S^{-1}M))={\mathrm{Ass}}_R(M)\cap \{P|P\cap S=\mathrm{\varnothing }\}$.

• テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Math である．さらに，テンプレート:Math の極小元の集合は テンプレート:Math の極小元の集合と一致する．とくに，テンプレート:Math が極大イデアルからなるとき，等号が成り立つ．
• テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar が長さ有限であることと テンプレート:Mvar が有限生成かつ テンプレート:Math が極大イデアルからなることは同値である．

例

• テンプレート:Mvar が有理整数環ならば，非自明な自由アーベル群と素冪位数の非自明なアーベル群は coprimary である．
• テンプレート:Mvar が有理整数環で テンプレート:Mvar が有限アーベル群ならば，テンプレート:Mvar の素因子はちょうど テンプレート:Mvar の位数を割り切る素数である．
• 位数 2 の群は有理整数 テンプレート:Mathbf（自身の上の自由加群と考えて）の商であるが，その素因子 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf の素因子ではない．

参考文献

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