相関関数 (場の量子論)

テンプレート:場の量子論 場の量子論において、実空間のn点相関関数は、異なる位置での$n$個の場の演算子の積の平均(期待値)として定義される。

$C_n(x_1,x_2,\dots ,x_n):=⟨\varphi (x_1)\varphi (x_2)\dots \varphi (x_n)⟩=\frac{\int D\varphi e^{-S[\varphi ]}\varphi (x_1)\dots \varphi (x_n)}{\int D\varphi e^{-S[\varphi ]}}$

時間依存する相関関数では、時間順序積$T$が含まれる。

場の量子論での相関関数はグリーン関数とも呼ばれる。

相関関数の性質

場の量子論での相関関数とその性質について以下に示す。

最も単純な実時間についての相関関数は、次のように2つの演算子の積の平均をとったものである。

$S_{AB}(t,t^{\prime })=⟨A(t)B(t^{\prime })⟩$

ここで、場の量子論では粒子の生成・消滅が起こるため、平均$⟨⟩$としてグランドカノニカル平均を採用する。よってハイゼンベルク描像での演算子$A(t),B(t)$の時間依存性は、ハミルトニアンのみの形$e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }$ではなく、次のように化学ポテンシャルを含んだ形で決定される。

$A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hslash }A{e}^{-i(H-\mu N)t/\hslash }$

この相関関数$S_{AB}(t,t^{\prime })$を具体的に計算してみると、tとt'に独立に依存するのではなく、その差t-t'の関数であることがわかる。よって以下では$S_{AB}(t-t^{\prime })$と書くことにする。t'=0のときは$S_{AB}(t)$である。このフーリエ変換は、次のように定義される。

$S_{AB}(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{AB}(t)e^{i\omega t}dt$

この相関関数のフーリエ変換は、次のような性質を持つ。

$S_{BA}(\omega )=e^{-\beta \hslash \omega }{S}_{AB}(\omega )$

$S_{A{A}^{†}}(\omega )\geqq 0$

$S_{AB}^{*}(\omega )=S_{B^{†}{A}^{†}}(\omega )$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|S_{AB}(\omega )|d\omega \leqq ⟨A{A}^{†}{⟩}^{1/2}⟨B^{†}B{⟩}^{1/2}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|S_{AB}(\omega )|e^{\beta \hslash \omega }d\omega \leqq ⟨A^{†}A{⟩}^{1/2}⟨B{B}^{†}{⟩}^{1/2}$

このような単純な積の平均で表される相関関数の他に、以下のようなものがよく用いられる。

• 交換子または反交換子の平均：$⟨[A(t)B(t^{\prime }){]}_{\pm }⟩$

先進グリーン関数や遅延グリーン関数で用いられる。

• 時間順序積の平均：$⟨T[A(t)B(t^{\prime })]⟩$

温度グリーン関数で用いられる（ただし温度グリーン関数は実時間ではなく虚時間$\tau =it$についてのグリーン関数である）。

関連項目

• グリーン関数 (多体理論)
• テンプレート:仮リンク(Connected correlation function)
• 相関は因果を含まない(Correlation does not imply causation)
• テンプレート:仮リンク(One particle irreducible correlation function)
• 分配関数 (数学)

参考文献

• Alexander Altland, Ben Simons (2006): Condensed Matter Field Theory Cambridge University Press