質量作用の法則 (半導体)

テンプレート:Otheruses 熱平衡の場合、自由電子濃度 $n$ と自由正孔濃度 $p$ の積は真性キャリア濃度 $n_{i}$ の二乗に等しい。真性キャリア濃度は、温度の関数である。

半導体における質量作法の法則の式は、

n p = n_{i}^{2}

で表される^[1]。

キャリア濃度

半導体において自由電子と正孔は、電気伝導を与えるキャリアである。キャリアの数がバンド状態の数より遥かに小さい場合、キャリア濃度はボルツマン分布で近似でき、以下の結果を与える。

自由電子濃度nは次のように近似できる。

n = N_{c} exp [- \frac{(E_{c} - E_{F})}{k T}]

ここで

E_cは伝導帯のエネルギー
E_Fはフェルミ準位
kはボルツマン定数
Tはケルビン単位の温度
N_cは伝導帯端での有効状態密度で、 $N_{c} = 2 {(\frac{2 π m_{e}^{*} k T}{h^{2}})}^{3 / 2}$ と与えられる。ここでm*_eは電子の有効質量、hはプランク定数である。

自由正孔濃度pも同様な式で与えられる。

p = N_{v} exp [- \frac{(E_{F} - E_{v})}{k T}]

ここで

E_Fはフェルミ準位
E_vは価電子帯のエネルギー
kはボルツマン定数
Tはケルビン単位の温度
N_vは価電子帯端での有効状態密度で、 $N_{v} = 2 {(\frac{2 π m_{h}^{*} k T}{h^{2}})}^{3 / 2}$ と与えられる。m*_hは正孔の有効質量、hはプランク定数である。

上述のキャリア濃度の式を用いると、質量作用の法則は次のように書ける。

n p = N_{c} N_{v} exp (- \frac{E_{g}}{k T}) = n_{i}^{2}

ここでE_gはバンドギャップエネルギーE_g = E_c − E_vである。