Arithmetica Universalis

テンプレート:Lang（テンプレート:Lang-en-short, 普遍算術、ふへんさんじゅつ）はアイザック・ニュートンによる数学書。原文はニュートンの講義ノートを基にラテン語で書かれ、ニュートンのケンブリッジ大学のルーカス教授職の後任であるウィリアム・ホイストンによって編集、1707年に初版が出版された。

ジョゼフ・ラフソンによる英訳版は1720年に、テンプレート:En として出版された。また、ラテン語第二版はジョン・マチンによって1722年に出版されている。

ニュートン自身は テンプレート:Lang の出版に不満を持っており、彼の名前が記されることを頑なに拒否したため、これらの版のいずれもニュートンの名は著者として記されていない。実際、ホイストンによる初版が出版されたときニュートンは非常に狼狽し、刊行されたものすべてを買い占め、処分することを考えたという。

テンプレート:Lang には代数における記法、算術、幾何学と代数学の関係、方程式の解についてが記されている。ニュートンはデカルトの符号法則を複素数根について適用し、代数方程式の複素数根の個数が符号律から決まることを、証明なしに要請している。150年間、このニュートンの方法に厳密な証明が与えられることはなかった（ジェームス・ジョセフ・シルベスターによる証明は1865年。テンプレート:En のことか）。

代数方程式の解について

以下に複素数根の個数について該当する記述を引用する^[1]。

テンプレート:Quotation この部分を日本語訳すると以下のようになる^{[注 1]}。

　百十九. 方程式が不可能な根 (複素数根, テンプレート:En) を持たなければ、正の根テンプレート:En と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列がテンプレート:Math からテンプレート:Math、またはテンプレート:Math からテンプレート:Math へ変化する数だけあり、残りは負の根である。方程式テンプレート:Math2 について、各項に対する符号をテンプレート:Math2 というように並べると、符号の変化は一番目テンプレート:Math から二番目テンプレート:Math、三番目テンプレート:Math から四番目テンプレート:Math、四番目テンプレート:Math から五番目テンプレート:Math にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なものテンプレート:En となり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式テンプレート:Math2 は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここでテンプレート:Math、あるいはテンプレート:Math、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。

$x^{4} - p x^{3} + p^{2} x^{2} - (6 p^{3} + q) x + 2 p q = 0,$

この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。

ニュートン算

ニュートン算 (Newton's pasturage problem) と呼ばれる算術問題は、テンプレート:Lang に収録されている問題に由来する。問題文は次の通りである^[2]。

原文 (英語) : テンプレート:Quotation 日本語訳 :

　問十一. テンプレート:Mvar 頭の牛はテンプレート:Mvar の牧草地をテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くし、テンプレート:Mvar 頭の牛はテンプレート:Mvar の牧草地をテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くす。また牧草は一様に育つものとする。牛がテンプレート:Mvar の牧草地をテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くすには何頭いればよいか求めよ。

この直後には、ニュートンによる問題の解説と例題が書かれている。内容は次の通りである。

解説文原文 (英語) : テンプレート:Quotation 日本語訳 :

　テンプレート:Mvar 頭の牛がテンプレート:Mvar の時間のうちにテンプレート:Mvar の牧草地を食べ尽くすなら、それぞれの数の比から、牧草が時間テンプレート:Mvar の後には少しも成長しないとして、テンプレート:Math 頭の牛は同じくテンプレート:Mvar の時間のうちに、テンプレート:Math 頭の牛はテンプレート:Mvar の時間のうちに、またテンプレート:Math 頭の牛はテンプレート:Mvar の時間のうちに、テンプレート:Mvar の牧草地を食べ尽くすだろう。しかし牧草が育つことによって、テンプレート:Mvar 頭の牛だけがテンプレート:Mvar の時間のうちにテンプレート:Mvar の牧草地を食べ尽くすことができて、テンプレート:Mvar の牧草地の牧草が、時間テンプレート:Math の間に育つことにより、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くせる分だけが育ち、それはテンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くせるだけと同じ量である。更に比の関係から、テンプレート:Math の時間にテンプレート:Math 割るテンプレート:Math つまりテンプレート:Math 頭の牛が食べ尽くせるだけの牧草が育つ。この増加分をテンプレート:Math 頭の牛に加えると、テンプレート:Math がテンプレート:Mvar の牧草地をテンプレート:Mvar の時間のうちに食べ尽くす牛の頭数である。そして比からテンプレート:Mvar の牧草地を同じ時間テンプレート:Mvar の間に食べ尽くす牛の数はテンプレート:Math であることが求まる。

例題原文 (英語版) : テンプレート:Quotation 日本語訳 :

例題. テンプレート:Math 頭の牛はテンプレート:Math とテンプレート:Math エーカーの牧草地をテンプレート:Math 週間で食べ尽くし、テンプレート:Math 頭の牛はテンプレート:Math エーカーの牧草地をテンプレート:Math 週間で食べ尽くすとする。テンプレート:Math エーカーの牧草地をテンプレート:Math 週間で食べ尽くす牛の頭数はいくらか。　答えテンプレート:Math 頭。求める数はテンプレート:Math のテンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar をそれぞれテンプレート:Math, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math に置き換えることで得られるだろうが、しかし、前述の文字式の解を求めるのとおそらくは同様の手間で、第一原理から解を導くこともできるだろう。テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間でテンプレート:Math とテンプレート:Math エーカーの牧草地を食べ尽くすなら、牧草が育たないことを仮定すれば、数の比からテンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間で、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間で、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間で、テンプレート:Math エーカーの牧草地を食べ尽くすことになる。しかし牧草が育つことにより、テンプレート:Math 頭の牛だけがテンプレート:Math 週間でテンプレート:Math エーカーの牧草地を食べ尽くすことができ、テンプレート:Math 週間でテンプレート:Math エーカーの牧草地に育つ牧草はテンプレート:Math 頭の牛が食べ尽くす分、つまりテンプレート:Math 頭の内のテンプレート:Math 頭がテンプレート:Math 週間に食べる分を除いた余りと同じだけあり、また同じことだが、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間で食べる分と同じである。更にテンプレート:Math 週間（テンプレート:Math 週間から初めのテンプレート:Math 週間を除いた余り）に増える牧草の量は、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間に食べるだけと同じであることも推察できる。テンプレート:Math 頭の牛は牧草の育った分だけを食べ、テンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間以降に育った牧草以外を食べ、これらを合わせると牛の頭数はテンプレート:Math になる。そして最後に、テンプレート:Math エーカーの牧草地をテンプレート:Math 頭の牛がテンプレート:Math 週間で食べ尽くすなら、比によって、テンプレート:Math エーカーの牧草地をテンプレート:Math 頭の牛は同じ時間で食べ尽くすことが分かる。

1769年英語版の目次

[表題] - [節番号(Article Numb.)]

Part I
- Notation (記法) - I.
- Addition (加法) - XVIII.
- Subtraction (減法) - XXV.
- Multiplication (乗法) - XXVIII.
- Division (除法) - XXXIV.
- Extraction of Roots (開法) - XLI.
- Reduction of Fractions (約分) - XLVIII.
- Invention of Divisors (約数) - XLIX.
- Reduction of Fractions to a common Denominator (通分) - LIX.
- Reduction of Radical Quantities (冪根の簡約化) - LX.
  - to their least Terms - LX.
  - to the same Denominator - LXI.
  - to more simple Radicals, by the Extraction of Roots - LXII.
- Forms of Equations - LXV.
- Reduction of Final Equations - LXVII.
  - ordering a Single or Final Equation - LXVII.
- Reduction of Medial Equations - LXXV.
  - Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV.
  - Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI.
  - Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII.
  - Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII.
  - Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI.
- Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII.
  - How a Question may be brought to an Equation - LXXXII.
    - 16 Problems
- Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII.
  - How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII.
    - 61 Problems
Part II
- Nature of the Roots of Equations - CX.
- Transmutations of Equations - CXXIII.
- Limits of the Roots of Equations - CXXXII.
- Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL.
Appendix
- Linear Construction of Equations
- Roots of Numeral Equations by their Limits (by Colin Maclaurin)
- Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations (by Colin Maclaurin)
- Measures of Ratios (by James Maguire)

脚注

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代数方程式の解について

ニュートン算

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脚注

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