ブラ-ケット記法

テンプレート:出典の明記 ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、テンプレート:Lang-en-short）またはディラックの記法テンプレート:Sfn（ディラックのきほう、テンプレート:Lang-en-short）はテンプレート:Efn2、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（テンプレート:En）という呼称は、量子状態をブラ（テンプレート:En）テンプレート:Math とケット（テンプレート:En）テンプレート:Math と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積テンプレート:Math が括弧（テンプレート:En）を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文テンプレート:Harvで提案された。ディラックの教科書テンプレート:En では1947年の第3版からブラケット記法を採用しているテンプレート:Sfn。

ブラ・ケット

ブラテンプレート:Math はケットテンプレート:Math のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を $\hat{O}$ で表し、ケットに対する適用を $\hat{O} | ψ ⟩$ と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

{⟨ ϕ | \hat{O}} | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | {\hat{O} | ψ ⟩}

通常、上記の内積は括弧を外して $⟨ ϕ | \hat{O} | ψ ⟩$ と表される。また特に任意のケットテンプレート:Math に作用してケットテンプレート:Math を与える作用素はテンプレート:Math と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号でテンプレート:Math と表される。

性質

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

⟨ ψ |^{†} = | ψ ⟩, | ψ ⟩^{†} = ⟨ ψ |

また、ある状態 $| ψ ⟩$ において、観測可能量 $\hat{O}$ の期待値はブラテンプレート:Math とケットテンプレート:Math の内積 $⟨ ψ | \hat{O} | ψ ⟩$ として表される。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。

利点

この記法の利点として

基底に依存しない記述が可能
固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて [[量子数|テンプレート:Math]] としたり、[[シュレーディンガーの猫|テンプレート:Math]] と書くこともできる）

などがあるテンプレート:Sfn。

無限次元での取り扱い

ディラックの説明によればケットテンプレート:Math の空間においてブラテンプレート:Math は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうち2つのラベルをテンプレート:Mvar として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

⟨ α | β ⟩ = δ_{α, β},

連続基底ではデルタ関数を用いて

⟨ α | β ⟩ = δ (α - β)

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

\sum_{α} | α ⟩ ⟨ α | = 1

連続基底について、

\int d α | α ⟩ ⟨ α | = 1

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 $| α ⟩$ があるかのように書いているテンプレート:Sfn（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子テンプレート:Math を用いて2粒子状態を

| α β ⟩ = a_{α}^{†} a_{β}^{†} | 0 ⟩

と定義する。この時テンプレート:Math がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係テンプレート:Math を満たすので、

| α β ⟩ = a_{α}^{†} a_{β}^{†} | 0 ⟩ = - a_{β}^{†} a_{α}^{†} | 0 ⟩ = - | β α ⟩

となり、反対称化されている。

またテンプレート:Math がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係テンプレート:Math を満たすので、

| α β ⟩ = a_{α}^{†} a_{β}^{†} | 0 ⟩ = a_{β}^{†} a_{α}^{†} | 0 ⟩ = | β α ⟩

となり、対称化されている。

波動関数との関係

ケットテンプレート:Math と、（位置表示の）波動関数テンプレート:Math の関係は以下のように表されるテンプレート:Sfn。

ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩, | ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d x ψ (x) | x ⟩

ただし、位置を表す演算子 $\hat{x}$ の固有値をテンプレート:Math 、対応する固有ケットをテンプレート:Math とする； $\hat{x} | x ⟩ = x | x ⟩$ 。

ブラ-ケット記法

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