方正積分

数学における方正積分（ほうせいせきぶん、テンプレート:Lang-en-short; 統制積分）は方正函数（あるいは統制函数: 階段函数の一様極限として得られる函数）の積分法である。リーマン積分ではなく方正積分を用いることはブルバキ（ジャン・デュドネ）によって提唱されていた。

定義

Π = {a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = b}

が存在して、テンプレート:Math の各開区間テンプレート:Math 上でテンプレート:Mvar が定数となることであった。この各区間上での値をテンプレート:Math と書くとき、階段函数テンプレート:Mvar の積分は

\int_{a}^{b} φ (t) 𝑑 𝑡 : = \sum_{i = 0}^{k - 1} c_{i} | t_{i + 1} - t_{i} |

として定義される。この定義が分割の取り方に依らないこと、すなわちテンプレート:Math がテンプレート:Math の別の分割であってテンプレート:Math の各開区間上テンプレート:Mvar が定数となるならば、テンプレート:Mvar の積分の値はテンプレート:Math に対するものとテンプレート:Math に対するものとで同じになることが証明できる。

函数テンプレート:Math が方正函数であるとは、それがテンプレート:Math 上の階段函数列の一様極限となることである。これは以下のような（同値な）言い換えができる:

階段函数列テンプレート:Math が存在してテンプレート:Math とできる。
各テンプレート:Math に対して階段函数テンプレート:Mvar が存在してテンプレート:Math とできる。
テンプレート:Mvar は階段函数全体の成す空間の閉包に属する。ただし、閉包はテンプレート:Math なる有界函数全体の成す空間の中で、一様ノルムテンプレート:Math に関して取る。
任意のテンプレート:Math に対して右側極限
$f (t +) = \lim_{s ↓ t} f (s)$
が存在し、かつ任意のテンプレート:Math に対して左側極限
$f (t -) = \lim_{s ↑ t} f (s)$
が存在する。

方正函数テンプレート:Mvar の積分を、テンプレート:Mvar を一様極限に持つ任意の階段函数列テンプレート:Math により、

\int_{a}^{b} f (t) 𝑑 𝑡 : = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} φ_{n} (t) 𝑑 𝑡

として定める。

ここで、極限が存在することおよびその極限が近似列の取り方に依らないことは確認すべき事項であるが、それは初等的な函数解析学における連続線型拡張定理

から直ちに得られる。

この積分は線型作用素である。即ち、任意の方正函数テンプレート:Mvar および定数テンプレート:Mvar に対して
$\int_{a}^{b} α f (t) + β g (t) 𝑑 𝑡 = α \int_{a}^{b} f (t) 𝑑 𝑡 + β \int_{a}^{b} g (t) 𝑑 𝑡 .$
この積分は有界作用素である。即ち、任意の有界な方正函数テンプレート:Mvar について、テンプレート:Math とすれば
$m | b - a | \leq \int_{a}^{b} f (t) 𝑑 𝑡 \leq M | b - a | .$
- 特に
  $| \int_{a}^{b} f (t) 𝑑 𝑡 | \leq \int_{a}^{b} | f (t) | 𝑑 𝑡 .$
階段函数は可積分であり、かつその可積分性とリーマン積分値が一様極限と両立することから、方正積分はリーマン積分の特別の場合である。

上記の階段函数、方正函数および方正積分は実数直線全体で定義された函数に対しても拡張することが可能だが、幾らかの技術的な点に注意を払う必要がある:

階段函数がその上で定数となるような開区間族への分割は、可算族となってもよいが、離散族（つまり、極限点を持たない）でなければならない。
一様収斂との仮定はコンパクト集合（この場合、有界閉区間）上一様収斂（広義一様収斂）へ緩めなければならない。
必ずしもすべての有界函数が可積分となるわけではない（例えば常にテンプレート:Math をとる定数函数は可積分でない）。この場合、局所可積分性の概念を考えるほうが自然。

適当な修正のもと、ノルム空間テンプレート:Mvar に値をとる函数の場合にも上記の定義は通用する。