最小多項式 (線型代数学)

次の3つの主張は同値である：

テンプレート:Mvar の最小多項式テンプレート:Math における根テンプレート:Mvar の重複度は、テンプレート:Mvar に対応するテンプレート:Mvar のジョルダン細胞の最大次数を表す。

一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、テンプレート:Math を考える（テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar次単位行列）。この行列の固有多項式はテンプレート:Math である。一方、最小多項式はテンプレート:Math である。従って、テンプレート:Math2 ならば、テンプレート:Math の最小多項式と固有多項式は一致しない。

ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。

定義

I_{T} = {p \in 𝐅 [x] ∣ p (T) = 0}

とおく。ここでテンプレート:Math は、テンプレート:Mathbf 上の一変数多項式環を表す。 $I_{T}$ は、テンプレート:Math の真のイデアルとなる。テンプレート:Mathbf は体だからテンプレート:Math は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがって特にテンプレート:Mvar の生成元としてモニック多項式をとることができ、これをテンプレート:Mvar の最小多項式と言う。最小多項式は、 $I_{T}$ 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。

体テンプレート:Mathbf 上の線形空間での線型変換テンプレート:Mvar が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数がテンプレート:Math であることは同値である。従って、線型変換テンプレート:Mvar が対角化可能であるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の最小多項式がテンプレート:Mathbf 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度がテンプレート:Math であることである。

体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、

I_{T, v} = {p \in 𝐅 [t] ∣ v \in Ker p (T)} = {p \in 𝐅 [t] ∣ p (T) (v) = 0}

と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。 $μ_{T, v}$ を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。

この多項式は次の性質を満たす。

$I_{T, v}$ は $I_{T}$ を含む。
$d$ を、 $v, T (v), \dots, T^{d} (v)$ が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、ある $α_{0}, α_{1}, \dots, α_{n} \in 𝐅$ が存在して、

α_{0} v + α_{1} T (v) + \dots + α_{n} T^{d} (v) + T^{d + 1} (v) = 0

が成り立ち、さらに

μ_{T, v} (t) = α_{0} + α_{1} t + \dots + α_{n} t^{d} + t^{d + 1}

となる。