隣接代数 (順序理論)

数学の順序集合論において隣接代数（りんせつだいすう、テンプレート:Lang-en-short）または接合環（せつごうかん）とは、任意の局所有限な半順序集合と単位元を持つ可換環に対して定義される結合多元環である。局所有界半順序集合の接続代数は、1964年のジャン・カルロ・ロタ(Gian-Carlo Rota)による論文に始まり、多くの組合せ論研究者により発展した。

定義

局所有限半順序とは、すべての閉区間

テンプレート:Math

が有限集合であるような半順序集合である。

隣接代数の元は、空でない各区間 テンプレート:Math に対して（係数環とする単位的可換環に値を取る）スカラー テンプレート:Math を対応させる関数である。この台集合上で、元ごとの和とスカラー倍が定義でき、また隣接代数の「積」は以下の畳み込みで定義する。

$(f*g)(a,b)=\sum _{a\le x\le b}f(a,x)g(x,b).$

隣接代数が有限次元であることと、それを定める半順序集合が有限であることは同値である。

関連する概念

隣接代数は群代数に類する概念である。実際、（群および半順序集合を特別な種類の圏と見做すというのと同じ意味で）群代数および隣接代数はテンプレート:仮リンクの特別の場合になっている。

特別な元

デルタ函数

隣接代数は乗法単位元をもち、それは以下で定義されるデルタ函数である。

$\delta (a,b)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }a=b\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

ゼータ函数

隣接代数の「ゼータ関数」とは、すべての空でない区間 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math となるような関数である。テンプレート:Math を掛けることは積分に相当する。

$\zeta (a,b)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}a\le b\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

メビウス函数

テンプレート:Math は隣接代数において（上で定義した畳み込みに対して）可逆であることを示すことができる。（一般に、隣接代数の元 テンプレート:Mvar が可逆であるための必要十分条件は任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が可逆であることである。）ゼータ関数の乗法逆元は、メビウス関数 テンプレート:Math である。メビウス関数の値は常に、係数環の単位元 テンプレート:Math の整数倍である。

メビウス関数は次のように帰納的に定義することもできる：

$\mu (x,y)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}x=y\\ -\sum _{z:x\le z<y}\mu (x,z)& \text{for}x<y\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

テンプレート:Math を掛けることは微分に相当し、それはメビウス反転とも呼ばれる。

例

• 正整数全体の成す集合 テンプレート:Math に整除関係 テンプレート:Math で順序を入れた半順序集合の接合代数におけるメビウス関数は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を割り切る (テンプレート:Math) ような任意の テンプレート:Math に対して
  テンプレート:Math
  で与えられる。ただし右辺の テンプレート:Mvar は、19世紀に数論に導入された古典的なメビウス関数である。メビウス反転はメビウスの反転公式として与えられる。
• 適当な集合 テンプレート:Mvar の有限部分集合全体の成す集合 テンプレート:Math（これは幾何学的には超立方体 テンプレート:Math）に包含関係 テンプレート:Math で順序を入れた半順序集合の接合代数におけるメビウス関数は テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar の有限部分集合の任意の対に対して
  テンプレート:Math
  で与えられる。このときのメビウス反転は包含と切除の原理と呼ばれるものである。
• 自然数全体の成す集合 テンプレート:Math に通常の大小関係 テンプレート:Math で順序を入れた半順序集合（これは幾何学的には離散数直線）の接合代数において、メビウス関数は
  $\mu (x,y)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }y-x=0,\\ -1& \text{if }y-x=1,\\ 0& \text{if }y-x>1\end{array}$
  で与えられる。このメビウス関数に関する反転は後退差分作用素と呼ばれる。
  • 「数列の畳み込み」が「形式的冪級数の積」に対応するものであったことに注意しよう。するとこのメビウス関数は形式的冪級数 テンプレート:Math の係数列 テンプレート:Math に対応し、ゼータ関数が逆数函数 テンプレート:Math の級数展開の係数列 テンプレート:Math に対応する。同様に、この隣接代数におけるデルタ関数は形式的冪級数としての テンプレート:Math に対応する。
• 上の3つの例は適当な多重集合 テンプレート:Mvar の有限部分多重集合全体に包含関係で順序を入れた半順序集合の場合に統合的に一般化できる。メビウス関数は多重集合 テンプレート:Mvar の有限部分多重集合 テンプレート:Math が テンプレート:Math なるとき
  テンプレート:Math が集合でない真の多重集合（重複元を持つ）ならば テンプレート:Math,
  テンプレート:Math が集合（重複元を持たない）ならば テンプレート:Math
  として与えられる。
  • 最初の正整数と整除性の例は、この一般化された設定において整数をその重複度を込めて考えた素因数全体の成す多重集合と見做すことで与えられる。例えば整数 テンプレート:Math は多重集合 テンプレート:Math} である。
  • 三つ目の自然数と大小関係の例は、与えられた自然数に対し「属する元が テンプレート:Math でその重複度が与えられた自然数に等しい」ような多重集合を考えることで与えられる。例えば テンプレート:Math は多重集合 テンプレート:Math} である。
  • 二つ目の例は（真の多重集合の場合は現れないから）明らか。
• 有限[[p-群| テンプレート:Mvar-群]] テンプレート:Mvar の部分群全体の成す集合に包含関係で順序を入れた半順序集合のメビウス函数は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の正規部分群で テンプレート:Math なるとき
  ${\mu }_G(K,H)=(-1{)}^k{p}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})},$
  それ以外のとき テンプレート:Math
  となる。これはWeisnerによる定理である。
• 適当な有限集合の分割全体の成す集合に、テンプレート:Math は テンプレート:Math が テンプレート:Math の細分となるときと定めた半順序集合の接合代数のメビウス函数は、テンプレート:Math の成分数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Math の成分数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Math として、また テンプレート:Math の成分をちょうど テンプレート:Mvar 個含むような テンプレート:Math の成分の総数を テンプレート:Mvar として
  $\mu (\sigma ,\tau )=(-1{)}^{n-r}(2!{)}^{r_3}(3!{)}^{r_4}\cdots ((n-1)!{)}^{r_n}$
  で与えられる。

オイラー標数

テンプレート:Further 半順序集合が有界とは、それが最大元 テンプレート:Math と最小元 テンプレート:Math を持つときに言う（いま テンプレート:Math は単に記号としてそう書くのであって係数環の テンプレート:Math と混同してはならない）。有界有限半順序集合のオイラー標数とは、メビウス函数の値 テンプレート:Math のことを言う。このように言う理由は、テンプレート:Mvar が最大元 テンプレート:Math と最小元 テンプレート:Math を持つとき、テンプレート:Math} に面を持つ単体的複体の被約オイラー標数が テンプレート:Math に一致するからである。

被約接合代数

ふたつの区間が半順序集合として同型となるならば必ず同じ値が割り当てられるような接合代数の任意の元は被約接合代数 (reduced incidence algebra) の元である。被約接合代数は接合代数の部分代数であって、明らかにもとの接合代数の単位元とゼータ函数を含む。被約接合代数の任意の元は、それが適当な接合代数の拡大において可逆ならば被約接合代数自身の中に逆元を持つ。従ってメビウス函数は常に被約接合代数の元として取れる。先に自然数と通常の大小関係の例で触れたように、被約接合代数は母函数の理論に光を当てるものである。

関連項目

• メビウスの反転公式
• メビウス関数
• 順序集合
• ジャン・カルロ・ロタ

参考文献

• テンプレート:Citation

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation

• テンプレート:Citation