ミッチェルの埋め込み定理

ミッチェルの埋め込み定理（ミッチェルのうめこみていり、テンプレート:Lang-en-short）、あるいはフレイド・ミッチェルの定理 (Freyd–Mitchell theorem)、充満埋め込み定理 (full embedding theorem) は、アーベル圏についての結果である。定理が本質的に述べているのは、これらの圏はかなり抽象的に定義されるが実は加群のテンプレート:仮リンクであるということである。この定理によりこれらの圏において元ごとの diagram chasing による証明を用いることができる。

正確なステートメントは以下のようになる： テンプレート:Math が小さなアーベル圏であれば、ある環 テンプレート:Mvar とある完全忠実充満関手 テンプレート:Math が存在する。（ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を持ち、可換とは限らない。また、テンプレート:Math はすべての左 テンプレート:Mvar 加群の圏である。）

関手 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Math の充満部分圏の間の圏同値を、テンプレート:Math で計算された核と余核が テンプレート:Math で計算された通常の核と余核に対応するように、与える。そのような同値は必ず加法的である。定理はしたがって本質的に次のことを言っている。テンプレート:Math の対象は テンプレート:Mvar 加群と考えることができ、射は テンプレート:Mvar 線型写像と考えることができ、射の核、余核、完全列、和は加群の場合と同様に決定される。しかしながら、テンプレート:Math における射影的対象と単射的対象は必ずしも射影的、単射的 テンプレート:Mvar 加群と対応しているわけではない。

証明の概略

$ℒ\subset \mathrm{Fun}(𝒜,𝐀𝐛)$ をアーベル圏 $𝒜$ からアーベル群の圏 テンプレート:Math への左完全関手の圏とする。まず反変埋め込み $H:𝒜\to ℒ$ を、すべての $A\in 𝒜$ に対して $H(A)=h_A$ によって構成する。ただし テンプレート:Mvar は共変 hom 関手 $h_A(X)={\mathrm{Hom}}_{𝒜}(A,X)$ である。米田の補題により テンプレート:Mvar は忠実充満であり、また テンプレート:Mvar は既に左完全であるから テンプレート:Mvar の左完全性が非常に容易に分かる。テンプレート:Mvar の右完全性の証明の方は難しく、Swan (1968) に書いてある。

その後、$ℒ$ がアーベル圏であることを局所化の理論を用いて証明する（再び Swan を参照）。これが証明の難しい部分である。

$ℒ$ がテンプレート:仮リンク

$I=\prod _{A\in 𝒜}{h}_A$

を持っていることを確認することは易しい。自己準同型環 $R:={\mathrm{Hom}}_{ℒ}(I,I)$ が テンプレート:Mvar 加群の圏として欲しい環である。

$G(B)={\mathrm{Hom}}_{ℒ}(B,I)$ により別の反変完全忠実充満埋め込み $G:ℒ\to R\mathrm{-Mod}$ を得る。合成 $GH:𝒜\to R\mathrm{-Mod}$ が求める共変完全忠実充満埋め込みである。

テンプレート:仮リンクに対するガブリエル・キレンの埋め込み定理の証明はほとんど同一であることに注意する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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