球体

テンプレート:Otheruseslist テンプレート:No footnotes 数学における球体（きゅうたい、テンプレート:Lang-en-short）は、球面の内側の空間全体を言う。

境界点の全体である球面を全く含む球体を閉球体（へいきゅうたい、テンプレート:Lang-en-short）といい、全く含まない球体を開球体（かいきゅうたい、テンプレート:Lang-en-short）という。

概要

球体の概念は、三次元ユークリッド空間のみならず、より低次または高次の空間、あるいはより一般の距離空間においても定義することができる。テンプレート:Mvar-次元の球体は テンプレート:Mvar-次元（超）球体（あるいは短くテンプレート:Mvar-球体）と呼ばれ、その境界は[[超球面|テンプレート:Math-次元（超）球面]]（あるいは短くテンプレート:Math-球面）と呼ばれる。

例えばユークリッド平面における球体は円板のことであり、それを囲む境界は円周である。また、三次元ユークリッド空間における球体（通常の球体）は二次元球面（通常の球面）によって囲まれる体積を占める。

ユークリッド幾何学などの文脈において、球体 (ball) の意味でしばしば略式的に球 (sphere) と呼ぶ場合がある（球が球面の意である場合もある）。

ユークリッド空間における球体

テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間において、中心テンプレート:Mvar, 半径テンプレート:Mvar の開球体とは、テンプレート:Mvar からの距離がテンプレート:Mvar 未満（テンプレート:Math）であるような点全体の成す集合を言う。閉球体はテンプレート:Mvar からの距離がテンプレート:Mvar 以下（テンプレート:Math）であるような点全体の成す集合である。

テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間において任意の球体は超球面の内側（超球体）であり、特にテンプレート:Math のときは有界な区間、テンプレート:Math のときは円の囲む内側である円板、テンプレート:Math のとき通常の球面の囲む内側である。

体積

テンプレート:Main

テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間における、半径テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar-次元ユークリッド超球体のテンプレート:Mvar-次元超体積は

V_{n} (R) = \frac{π^{n / 2}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} R^{n}

で与えられる^[1]。ただしテンプレート:Mvar はオイラーのガンマ函数（階乗の非整数引数への拡張と見做される）。整数値または半整数値におけるテンプレート:仮リンクの明示公式を用いれば、ガンマ函数の値の評価を抜きにして、ユークリッド超球面の体積は

V_{2 k} (R) = \frac{π^{k}}{k!} R^{2 k},

V_{2 k + 1} (R) = \frac{2^{k + 1} π^{k}}{(2 k + 1)!!} R^{2 k + 1} = \frac{2 (k!) (4 π)^{k}}{(2 k + 1)!} R^{2 k + 1}

で与えられることがわかる。奇数次元の場合の式に現れる二重階乗テンプレート:Math はテンプレート:Math と定義されるものである。

一般の距離空間における球体

距離空間テンプレート:Math、即ち集合テンプレート:Mvar に距離函数テンプレート:Mvar を併せて考えたものにおいて、テンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar を中心とする半径テンプレート:Math の開（計量）球体 テンプレート:Math（あるいはテンプレート:Math は

B_{r} (p) ≜ {x \in M ∣ d (x, p) < r}

で定義され、閉（距離）球体 テンプレート:Math（あるいはテンプレート:Math）は

B_{r} [p] ≜ {x \in M ∣ d (x, p) \leq r}

で定義される。

上記においてテンプレート:Math としているので、球体は（開閉何れも）必ず中心の点テンプレート:Mvar は含むことに注意。

通例のように閉包を上付きの横棒で表すものとすると、テンプレート:Math およびテンプレート:Math は必ず成り立つが、いっぽうテンプレート:Math は必ずしも成立しテンプレート:Em。例えば離散距離空間テンプレート:Mvar において

\overline{B_{1} (p)} = {p} \neq B_{1} [p] = X (\forall p \in X)

となることが確かめられる。

半径テンプレート:Math の球体、開球体、閉球体をそれぞれ単位球体、単位開球体（開単位球体）、単位閉球体（閉単位球体）と呼ぶ。

距離空間の部分集合が有界であるとは、それが適当な球体にまったく含まれることを言う。また全有界であるとは任意に与えた半径を共通して持つ球体の有限個を用いて必ず被覆できるときに言う。

距離空間においてその開球体全体は、位相の開基として、その任意の開集合を開球体の合併に表すことができる。このように得られる位相空間は、距離函数テンプレート:Mvar の誘導する位相を備えていると言う。

ノルム空間における球体

ノルムテンプレート:Math を備えるノルム線型空間テンプレート:Mvar は、距離函数テンプレート:Math を備える距離空間でもある。このような空間において任意の球体テンプレート:Math は、単位球体テンプレート:Math をテンプレート:Mvar-倍に拡縮してテンプレート:Mvar だけ平行移動したものになっている。

先に述べたユークリッド球体はノルム空間における球体のひとつの例になっている。

テンプレート:Mvar-ノルム

数ベクトル空間テンプレート:Math にテンプレート:仮リンクテンプレート:Math を与えたノルム空間において、開球体とは

B (r) = {x \in ℝ^{n} ∣ \sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} |}^{p} < r^{p}}

なる集合のことである。

特にテンプレート:Math として、テンプレート:Math（タクシー距離、マンハッタン距離）に関する球体は対角線が軸と平行な正方形であり、テンプレート:Math（チェビシェフ距離）に関する球体は辺が軸と平行な正方形になる。他の値のテンプレート:Mvar に対してはテンプレート:仮リンク（劣楕円または超楕円）になる。

同じく、テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math-球体は立体としての対角線が軸と平行となるような八面体であり、テンプレート:Math-球体は辺が軸と平行な立方体、テンプレート:Math (テンプレート:Math) に対してはテンプレート:仮リンクになる。

一般の凸ノルム

より一般に、テンプレート:Math の点対称な有界凸開集合テンプレート:Mvar が与えられたとき、任意の開球体がテンプレート:Mvar を適当な大きさの拡縮を一様に行って平行移動したものとなっているようなテンプレート:Math 上のノルムを定義することができる。この定理は「開集合」を「閉集合」に置き換えると成立しない（実際、原点のみからなる集合は閉集合だが、これはテンプレート:Math のノルムを定めない）。

位相球体

より一般に、距離から導かれる位相とは限らない位相を備えた任意の位相空間テンプレート:Mvar においても球体について述べることができる。テンプレート:Mvar の部分集合は、それがテンプレート:Mvar-次元ユークリッド（開、閉）球体に同相となるとき、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar-次元位相（開、閉）球体と呼ばれる。テンプレート:Mvar-次元位相球体はテンプレート:仮リンクにおいて、テンプレート:仮リンクの構成ブロックとして重要である。

任意のテンプレート:Mvar-次元位相開球体は数空間テンプレート:Math に同相であり、またテンプレート:Mvar-次元単位開超立方体テンプレート:Math にも同相である。同様に、任意のテンプレート:Mvar-次元位相閉球体はテンプレート:Mvar-次元単位閉超立方体テンプレート:Math に同相である。

テンプレート:Mvar-次元球体がテンプレート:Mvar-次元球体と同相となる必要十分条件はテンプレート:Math となることである。テンプレート:Mvar-次元開球体テンプレート:Mvar とテンプレート:Math との間の同相写像は、テンプレート:Mvar の取り得る二つの位相的向きとして理解することができる二つの類に類別することができる。

テンプレート:Mvar-次元位相球体は滑らかでなくともよいが、滑らかとなる場合はテンプレート:Mvar-次元ユークリッド球体と微分同相でなければならない。

参考文献

テンプレート:Reflist

D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
"Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
"Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]

テンプレート:Expand section

外部リンク

テンプレート:立体

↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[1] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[1]

球体

目次

概要

ユークリッド空間における球体

体積

一般の距離空間における球体

ノルム空間における球体

テンプレート:Mvar-ノルム

一般の凸ノルム

位相球体

関連項目

参考文献

外部リンク

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球体

概要

ユークリッド空間における球体

体積

一般の距離空間における球体

ノルム空間における球体

テンプレート:Mvar-ノルム

一般の凸ノルム

位相球体

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