転置行列
転置行列（てんちぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Mvar 行 テンプレート:Mvar 列の行列 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 要素と テンプレート:Math 要素を入れ替えてできる テンプレート:Mvar 行 テンプレート:Mvar 列の行列のことである[1]。転置行列は テンプレート:Math2 などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、テンプレート:Lang-en-short）といい、「テンプレート:Mvar を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
定義
の転置行列 テンプレート:Mvar は
で定義される。このとき テンプレート:Mvar は テンプレート:Math行列である。
性質
テンプレート:Math2 は行列、テンプレート:Math2 はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
- 転置の転置は元の行列を与える[1]（対合性）：テンプレート:Math2
- 和の転置は転置の和を与える[1]（加法性）：テンプレート:Math2
- 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える[1]（斉次性）：テンプレート:Math2
- 斉次性および加法性から線型性が成り立つ：テンプレート:Math2
- 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える[1]：テンプレート:Math2
- 正方行列の性質
- 逆行列の転置は転置の逆行列を与える[2]：テンプレート:Math2
- テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar の跡を テンプレート:Math で表すと テンプレート:Math2
- テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar の行列式を テンプレート:Math で表すと テンプレート:Math2[3]
- テンプレート:Mvar 次実正方行列 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar 次ベクトル テンプレート:Math2 に対して、標準内積を テンプレート:Math2 で表すと、テンプレート:Math2
転置行列により定義される行列
転置により定義される特別な行列として以下がある[4]。
- 対称行列：転置が元の行列と等しい (テンプレート:Math2）
- 反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（テンプレート:Math2)
- 直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（テンプレート:Math2)
これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
線形写像との関係
テンプレート:Main テンプレート:Math2 行列 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar 次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar への線形写像 テンプレート:Math2 とみなすとき、テンプレート:Mvar の転置行列 テンプレート:Mvar には テンプレート:Mvar の転置写像 テンプレート:Mvar が対応する。これは テンプレート:Mvar の双対空間 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar の双対空間 テンプレート:Math への線形写像 テンプレート:Math2 で、テンプレート:Math2 に対して
によって定義されるテンプレート:Sfn。この定義は テンプレート:Math2 と テンプレート:Math2 の自然なペアリングを テンプレート:Math2 と表記すれば、テンプレート:Math2 に対して
という関係式によって書き直すこともできるテンプレート:Sfn。