ルジャンドル変換

ルジャンドル変換（ルジャンドルへんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、凸解析において、関数の変数をその微分に変えるために用いられる変換である。このとき実数関数 テンプレート:Math は微分可能でなくてもよいが連続関数だとする。

名前はフランスの数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドル変換は点と線の双対性、つまり凸な関数 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 の点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できることに基いている。

凸関数をルジャンドル変換する際、変換前の関数が保持している情報は、変換後の関数においても完全に保たれるテンプレート:Sfn。解析力学においてはこの性質を利用して、ラグランジアンからルジャンドル変換によってハミルトニアンが得られる（⇒#解析力学）。物理学等において他にも広く応用されており、熱力学における熱力学関数間の変換などにも用いられる（⇒#熱力学）。

ルジャンドル変換をより一般化したものはルジャンドル＝フェンシェル変換と呼ばれる。

なお、与えられた関数をルジャンドル多項式やルジャンドル陪多項式を展開の基底関数に用いて、それら展開係数を求める変換のことも、ルジャンドル変換 (Legendre Transform) と呼ばれる。

定義

テンプレート:Math theorem ここで $⟨\cdot ,\cdot ⟩$は内積であり、テンプレート:Mathは変数 テンプレート:Mvar を動かしたときの上限を表すテンプレート:Efn2。 同じことだが下限を用いて

$f^{*}(p):=-\underset{x\in {ℝ}^n}{\inf }\{f(x)-⟨p,x⟩\}$

とも表記できる。

ルジャンドル変換の直観的な意味は凸共役の項目を参照されたい。直観的な意味から、次が成立する事を示せる：

テンプレート:Math theoremなお、

$p=\mathrm{\nabla }f(x)$

を満たすテンプレート:Mvarが存在しない事もあり得ることに注意されたいテンプレート:Efn2。その場合、元の定義から

$f^{*}(x)$

を求める必要がある。逆に

$p=\mathrm{\nabla }f(x)$

を満たすテンプレート:Mvarが一意に定まらず、複数存在することもあり得るが、その場合どのテンプレート:Mvarを選んでも同じ

$f^{*}(p)$

になる事がテンプレート:Mvarの凸性から示せる。

関数 $f(x)$ のルジャンドル変換 $f^{*}(p)=\underset{x}{\sup }\{px-f(x)\}$（ただし $p=\dot{f}(x)$）は、$x$ における $f(x)$ の接線の切片に対応している。

右図は上記の特徴づけを一次元の場合に直観的に説明したものである。$p\in ℝ$に対し、

$p=f^{\prime }(x_0)$

となる$x_0\in ℝ$を取り、点テンプレート:Mvarにおける$y=f(x)$の接線

$y=f^{\prime }(x_0)x-f^{*}$

を考えると、この接線が接点$(x_0,f(x_0))$を通る事から、

$f^{*}=f(x_0)-f^{\prime }(x_0)x_0$$=f(x_0)-p{x}_0$$=f^{*}(p)$

が従う。したがってルジャンドル変換は接線$y=f^{\prime }(x_0)x-f^{*}$のテンプレート:Mvar切片$-f^{*}$にマイナスをつけたものである。

次にテンプレート:Mvarが滑らかとは限らない場合のルジャンドル変換の振る舞いを見る。有限の値しか取らない凸関数テンプレート:Mvarに対し、テンプレート:Mvarは全点で連続でありテンプレート:Efn2、しかも任意の$d\in {ℝ}^n$に対しテンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvar方向の（片側）方向微分

$\underset{t\to +0}{\lim }\frac{f(x+td)-f(x)}{t}$

が存在し、有現値である事が知られているテンプレート:Efn2（上式でテンプレート:Mvarが正の方向からテンプレート:Mvarに近づけていることに注意。負の方向からテンプレート:Mvarに近づけたものとは値が異なることもあり得るテンプレート:Efn2）。

特に、（有限値しか取らない）凸関数テンプレート:Mvarの定義域が１次元の場合は、左側方向微分$f^{\prime }(x-0)$と右側方向微分$f^{\prime }(x+0)$はいずれも存在して有限値である。これらを使って1次元のルジャンドル変換は以下のようにも特徴づけられる： テンプレート:Math theorem 前の定理と同様、そのようなテンプレート:Mvarがそもそも存在しない場合もあるし、複数存在する場合にはどのテンプレート:Mvarであっても$f^{*}(x)=px-f(x)$は同じ値になる。

性質

二重共役

テンプレート:Mathを取らない凸関数は２回ルジャンドル変換を取るともとに戻る：テンプレート:Math theoremなお$f$がテンプレート:Mathを取る場合であっても、$f$が恒等的にテンプレート:Mathではない場合、$x\in X$において$f^{**}(x)=f(x)$を満たす必要十分条件は、$f$が$x$において下半連続な事であることが示せるテンプレート:Sfn。凸関数は$\{x\in {ℝ}^n\mid f(x)\ne \pm \mathrm{\infty }\}$の内点で連続であることが知られているので、下半連続性が問われるのは境界点だけであるテンプレート:Sfn。

条件を満たさない場合、$f^{**}$は$f$に一致するとは限らないテンプレート:Sfn。条件を満たさない場合の詳細は凸共役の項目を参照されたい。

滑らかな関数に対する変換

また、テンプレート:Mvar もそのルジャンドル変換 テンプレート:Math も2階微分可能なら、両者は逆数の関係にあるテンプレート:Sfn。すなわち

$$f^{″}(x)f^{*}{\text{'}}^{\prime }(p)=1.$$

ただし テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 を満たすとする。

ヤングの不等式

以下の不等式が成り立つ。この種の不等式はヤングの不等式と呼ばれる。

$$f^{*}(p)+f(x)\ge px.$$

ルジャンドル変換の定義より、

$$f^{*}(p)=\underset{x}{\sup }(px-f(x))\ge px-f(x)$$

であるから、テンプレート:Math を両辺に足せば上述の不等式が成り立つ。

その他

• テンプレート:Math が下(上)に凸なら テンプレート:Math も下(上)に凸。すなわちルジャンドル変換は凸性を保持するテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Math の左微分と右微分が異なる（ テンプレート:Math が折れ線となる）点は、テンプレート:Math が テンプレート:Math に関して1次関数（直線）となる領域に対応する。逆に テンプレート:Math が テンプレート:Math に関して直線となる領域は テンプレート:Math が折れ線となる点に対応するテンプレート:Sfn。これは感覚的には、$f^{″}(x)\to \mathrm{\infty }$ と $f^{*}{\text{'}}^{\prime }(p)\to 0$ が対応するとも解釈できる。
• 象徴的に書けば、以下のように テンプレート:Math と テンプレート:Math について対称な関係がある。

  $p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},x=\frac{\mathrm{d}{f}^{*}}{\mathrm{d}p}$

• テンプレート:Math の逆関数 テンプレート:Math のルジャンドル変換は以下である（後述のヘルムホルツエネルギーとテンプレート:仮リンクの関係などに応用がある）。

  $(f^{-1}{)}^{*}(p)=-p{f}^{*}(1/p).$

多変数関数

多変数関数に対しては、その一部の変数に関してだけのルジャンドル変換を考えることができる。

2変数関数 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar についてルジャンドル変換した関数を テンプレート:Math とする。このとき、変換されない変数 テンプレート:Mvar はスペクテータと呼ばれるテンプレート:Sfn。スペクテータ テンプレート:Math による偏微分はルジャンドル変換の影響を受けない。すなわち次式が成り立つテンプレート:Sfn：

$${\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)}_x=-{\left(\frac{\partial f^{*}(p,y)}{\partial y}\right)}_p.$$

応用例

熱力学

ルジャンドル変換で繋がっている熱力学関数とその変数のまとめ。

テンプレート:See also 熱力学では、熱力学関数間の変換、すなわち内部エネルギー テンプレート:Math をエンタルピー テンプレート:Math、ヘルムホルツの自由エネルギー テンプレート:Math に、またそれらからギブスの自由エネルギー テンプレート:Math に変換する際にルジャンドル変換が用いられる。

$$\begin{array}{cc}H(S,p)& =U(S,V)+pV,\\ F(T,V)& =U(S,V)-TS,\\ G(T,p)& =H(S,p)-TS\\ & =F(T,V)+pV\\ & =U(S,V)+pV-TS.\end{array}$$

ここで、テンプレート:Mvar：体積、テンプレート:Mvar：圧力、テンプレート:Mvar：エントロピー、テンプレート:Mvar：温度である。テンプレート:Math が テンプレート:Math について下に凸であるテンプレート:Sfnため、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math はルジャンドル変換を介して互いに等価である（同じ情報を持つ）。

ただしここではルジャンドル変換は

$$f^{†}(p)=f(x)-xp\text{ at }x\text{ such that }{f}^{\prime }(x-0)\le p\le f^{\prime }(x+0)$$

という定義が用いられるテンプレート:Sfn。この定義でも上に述べた性質はほぼ同様に成り立つが、符号や凸性の変化などがある。たとえば逆変換は

$$f(x)=f^{†}(p)+xp$$

に変わるという不便さがある。しかし多変数関数をこの定義で変換した場合、凸性の上下については、変換した変数についてのみ逆転し残りの変数についてはもとのまま保持されるという簡便さがある。

熱力学では導関数の不連続性は相転移として現れる。

解析力学

解析力学におけるルジャンドル変換にテンプレート:仮リンクを適用したときのオイラー＝ラグランジュ方程式。

テンプレート:仮リンクを適用したときの正準方程式。

解析力学では、ラグランジアン テンプレート:Mvar をハミルトニアン テンプレート:Mvar に変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標を テンプレート:Mvar としたときに正準運動量を テンプレート:Math として、ハミルトニアンは

$$H=\dot{q}p-L$$

と定義されるテンプレート:Sfn。これによって、テンプレート:Math から テンプレート:Math になる。 実際これは以下の関係を満たす。

$$\frac{\partial H}{\partial \dot{q}}=p-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0.$$

このハミルトニアンとオイラー＝ラグランジュ方程式あるいは最小作用の原理を組み合わせることで正準方程式が導かれるテンプレート:Sfn。 ハミルトニアンの全微分は、

$$\mathrm{d}H=\frac{\partial H}{\partial p}\mathrm{d}p+\frac{\partial H}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t$$

と書けるが、一方でハミルトニアンの定義より、

$$\begin{array}{cc}\mathrm{d}H& =p\mathrm{d}\dot{q}+\dot{q}\mathrm{d}p-\frac{\partial L}{\partial q}\mathrm{d}q-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\mathrm{d}\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\\ & =p\mathrm{d}\dot{q}+\dot{q}\mathrm{d}p-\dot{p}\mathrm{d}q-p\mathrm{d}\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\\ & =\dot{q}\mathrm{d}p-\dot{p}\mathrm{d}q-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\end{array}$$

となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の偏微分に関する式をまとめて正準方程式 (テンプレート:En) と呼ぶ。

$$\{\begin{array}{cc}& \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}\\ & \frac{\partial H}{\partial q}=-\dot{p}\\ & \frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\end{array}$$

逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 テンプレート:Mvar を以下のように定義し、

$$L=\dot{q}p-H$$

変数 テンプレート:Mvar に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、

$$\frac{\partial L}{\partial p}=\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p}=0.$$

結局このとき変数 テンプレート:Math はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。

多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものはテンプレート:仮リンク (テンプレート:En) と呼ばれるテンプレート:Sfn。

具体例

滑らかな関数の例

最も簡単な例として特異性のない関数を挙げるテンプレート:Sfn。定数 テンプレート:Math2 に対して

$$f(x)=\frac{x^s}{s},x>0$$

とする。この関数 テンプレート:Mvar は下に凸かつ十分滑らかである。関数 テンプレート:Mvar のルジャンドル変換 テンプレート:Math は

$$f^{*}(p)=\frac{p^t}{t},p>0$$

となる。ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 を満たす定数である。この例では テンプレート:Math と テンプレート:Math は対称な形となる。特に テンプレート:Math2 の場合、テンプレート:Math2 はルジャンドル変換で形を変えない。

導関数に定数となる領域がある例

テンプレート:Math がある区間で1次関数（直線）となる例を挙げるテンプレート:Sfn。

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^3+x}{4}& (0<x<1),\\ x-\frac{1}{2}& (1\le x<2),\\ \frac{x^2}{2}-x+\frac{3}{2}& (2\le x).\end{array}$$

導関数 テンプレート:Math が全領域で連続、かつ テンプレート:Math2 で定数 テンプレート:Math2 であることに注意する。この関数のルジャンドル変換は テンプレート:Math2 で折れ線となり、

$$f^{*}(p)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{\left(\frac{4p-1}{3}\right)}^{3/2}& (\frac{1}{4}<p<1),\\ \frac{1}{2}(p^2+2p-2)& (1\le p)\end{array}$$

となる。

斉次関数

テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 次の斉次関数であるなら、そのルジャンドル変換は

$$\frac{\partial f}{\partial x}x-f=(k-1)f$$

であるテンプレート:Sfn。特に テンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math のルジャンドル変換は 0 となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book 付録 H. Legendre 変換、pp.270-278.
• テンプレート:Cite book 5.2 ルジャンドル変換、pp.45-47.
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite web

関連項目

• 劣微分

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語