絶対値

数学における実数テンプレート:Mvar の絶対値（ぜったいち、テンプレート:Lang-en-short）または母数（ぼすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math および負数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math（このときテンプレート:Math は正）であり、またテンプレート:Math である。例えばテンプレート:Math の絶対値はテンプレート:Math でありテンプレート:Math の絶対値もテンプレート:Math である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈におけるテンプレート:Ill2 (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。

用語と記法

1806年にテンプレート:Ill2が導入した用語テンプレート:Fr は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった^[1]^[2]。それは対応するラテン語のテンプレート:La として1866年に英語にも借用翻訳されているテンプレート:R。テンプレート:En が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で^[3]および1857年に英語で^[4]テンプレート:Efn見られる。両側を縦棒で括る記法テンプレート:Math はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した^[5]テンプレート:Rp。絶対値を表すほかの名称には numerical valueテンプレート:R（数値）や magnitudeテンプレート:R（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトではテンプレート:Mvar の絶対値をテンプレート:Math のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、テンプレート:Math のベクトルに対するユークリッドノルム^[6]テンプレート:Rpおよび上限ノルム^[7]テンプレート:Rpなどが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれテンプレート:Math およびテンプレート:Math）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。

定義

テンプレート:Anchors 実数テンプレート:Mvar の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」: $| x | : = \max {x, - x} = {\begin{matrix} x & (x \geq 0) \\ - x & (x < 0) \end{matrix}$ としてテンプレート:Sfn、あるいは「0 からの距離」テンプレート:Efn: $| x | : = \sqrt{x^{2}}$ として^[8]テンプレート:Rp与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。

性質

基本的な性質として、任意の実数テンプレート:Math について

非負性: テンプレート:Math
非退化性: テンプレート:Math のとき、且つそのときに限って、テンプレート:Math
偶性: テンプレート:Math
劣加法性: テンプレート:Math

などが成立する。

これは距離函数が満たす性質と対応する（後述）。

また、

などの性質が成り立つ。

実数の絶対値に関して、

| a | \leq b ⟺ - b \leq a \leq b

| a | \geq b ⟺ a \leq - b \lor b \leq a

は、絶対値を含む不等式を扱うのに有用である。

例えば、テンプレート:Math などとできる。

絶対値函数

実数の絶対値が定める非負実数値函数テンプレート:Math は至る所連続で、テンプレート:Math を除き至る所微分可能テンプレート:Efnである。また、区間テンプレート:Open-closed 上で単調減少であり、区間テンプレート:Closed-open で単調増加である。各実数とその反数の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は偶函数であり、それゆえ逆函数を持たない。この実絶対値函数は区分線型凸函数である。また、冪等である。

符号函数テンプレート:Math を用いれば、テンプレート:Math と書ける。またテンプレート:Math であり、テンプレート:Math のときテンプレート:Math が成り立つ。

テンプレート:Math における導函数

d | x | / d x = {\begin{matrix} 1 & (x > 0) \\ - 1 & (x < 0) \end{matrix}

はテンプレート:Math（あるいは本質的にヘヴィサイドの階段関数^[9]テンプレート:Sfn）であり、定義可能な範囲テンプレート:Math における連続函数であるが、テンプレート:Math における値をどのように定めるとしてもテンプレート:Mathbf 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。

テンプレート:Math におけるテンプレート:Math の劣微分係数は、区間テンプレート:Closed-closed である^[10]テンプレート:Rp。
テンプレート:Math のテンプレート:Mvar に関する二階導函数はテンプレート:Math を除く至る所存在して零に等しい（テンプレート:Math では存在しない）。しかし超函数微分の意味での二階導函数はディラックデルタの二倍に等しい。

また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が

\int | x | d x = \frac{1}{2} x | x | + C = \frac{1}{2} x^{2} sgn x + C

で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。

絶対値が誘導する距離

テンプレート:Seealso 絶対値の基本性質、非負性・非退化性・偶性・劣加法性は、二数の絶対差を考えることにより、ノルム（絶対値ノルム）として距離函数が満たす性質と対応しており、テンプレート:Math を任意の実数として

非負性: テンプレート:Math
不可識別者同一性: テンプレート:Math
対称性: テンプレート:Math
三角不等式: テンプレート:Math

と書いても同値であるテンプレート:Efn。即ちテンプレート:Mathと置けばテンプレート:Mvar は絶対距離と呼ばれる距離函数になる。

その他の絶対値

順序環における絶対値

任意の順序環テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の加法単位元、"テンプレート:Math" はテンプレート:Mvar の加法逆元とすれば、実数の場合とまったく同じく

| a | : = {\begin{matrix} a & (a \geq 0) \\ - a & (a < 0) \end{matrix}

として絶対値が定義される。テンプレート:Seealso

複素数の絶対値

テンプレート:Main

複素数テンプレート:Math に対して、その絶対値は

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

で与えられる非負実数値である。テンプレート:Math とすることにより、テンプレート:Mvar が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。

テンプレート:Mvar をガウス平面上の点として解釈すれば、テンプレート:Math とは原点からテンプレート:Mvar までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。

複素数テンプレート:Mvar とその複素共軛テンプレート:Overline に対して $| z | = | \bar{z} |$ が成り立つ。また、 $| z |^{2} = z \bar{z}$ はテンプレート:Mvar が引き起こすガウス平面上の一次変換の母数（モジュラス）である。これを $| z | = \sqrt{z \bar{z}}$ と書けば、これは実数の絶対値を $| x | = \sqrt{x^{2}}$ と定める定義の対応版と見ることができる（実際、実数テンプレート:Mvar を虚部がテンプレート:Math の複素数テンプレート:Math と見れば、テンプレート:Math したがってテンプレート:Math である）。同様のことはより一般のノルム多元体（あるいはさらに一般の合成代数）において考えることができる。

ベクトルのノルム

テンプレート:Main 絶対値の概念を拡張したものとしてノルムがある。（実または複素数体）テンプレート:Math 上のベクトル空間テンプレート:Mvar に属するベクトルテンプレート:Mvar のノルムあるいは大きさ (magnitude) または長さ (length) テンプレート:Math は、以下の性質

を満たす。従って、ノルムは距離テンプレート:Math を誘導する。上記の実数に対する絶対値、複素数に対する絶対値はどちらもノルムの条件を満たす。絶対値の誘導する距離はノルムの誘導する距離である。

リース空間における絶対値

テンプレート:Main リース空間と呼ばれるテンプレート:仮リンクのベクトルテンプレート:Mvar に対しては、テンプレート:Mathで絶対値が定義される。例えば集合テンプレート:Mvar 上の実数値（あるいはより一般に全順序群に値をとる）函数全体の成す集合は、テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mathと置くことによりリース空間となり、各テンプレート:Mvar に対して

テンプレート:Math

がテンプレート:Mvar の絶対値を与える。テンプレート:Math と置けば、絶対値はテンプレート:Mathと書ける。

体の賦値

テンプレート:Main 有理数体上の p-進絶対値など、体の賦値も絶対値の一般化である。賦値には加法賦値と乗法賦値があり、乗法賦値（特に指数賦値）のことをしばしば絶対値あるいはモジュラスと呼称する。賦値体はその賦値の定める距離位相に関して位相体を成す。

複素数体テンプレート:Mathbf の部分体がアルキメデス的な乗法賦値を持つならば、それは本項で述べたような通常の絶対値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上のアルキメデス的な乗法付値 $| x |_{v}$ は、テンプレート:Mathbf への埋め込みテンプレート:Mvar をうまくとれば、 $| σ (x) |$ （ここで $| \cdot |$ は通常の絶対値）と同値となる。一方、代数体上の非アルキメデス的な乗法付値は、有理数体上のp進付値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上の乗法付値の同値類のうち、有理数体上で通常の絶対値あるいは正規p進付値と一致するものを標準的な絶対値 (standard absolute value)というテンプレート:Sfn。

v が代数体 K 上の標準的な絶対値であるとき、この絶対値による K の完備化を $K_{v}$ とあらわす。また、この絶対値を有理数体上に制限したものによる、有理数体の完備化を $ℚ_{v}$ とあらわす。このとき $K_{v}$ は $ℚ_{v}$ の拡大体となっており、その拡大次数 $n_{v} = [K_{v} : ℚ_{v}]$ を v の局所次数 (local degree) と呼ぶ。このとき、

‖ x ‖_{v} = | x |_{v}^{n_{v}}

を正規化された絶対値 (normalized absolute value) という。 v がアルキメデス的な絶対値であれば、 K の埋め込み σ をうまくとり、

‖ x ‖_{v} = | σ (x) |^{n_{v}}

とあらわせる。また、このとき σ が実埋め込みならば $n_{v} = 1$ で、複素埋め込みならば $n_{v} = 2$ が成り立つ。v が非アルキメデス的な絶対値で、 v の有理数体への制限が p-進付値に一致しているとき、 p の上にある K 上の素イデアル π をうまくとれば、 $‖ \cdot ‖_{v}$ は正規 π-進付値に一致する。すなわち

‖ x ‖_{v} = | x |_{π}

が成り立つ（この正規化された絶対値 $‖ \cdot ‖_{v}$ を $| \cdot |_{v}$ と書いている文献も存在する^[11]。）。

v がすべての標準的な絶対値を走るとき、 積公式

\prod_{v} ‖ x ‖_{v} = \prod_{v} | x |_{v}^{n_{v}} = 1

が成り立つ。

非アルキメデス的な乗法付値は一階の加法的な賦値と対応がとれ、これらはしばしば同一のものとして扱われる。加法的賦値体あるいは順序体においてその賦値環は、その体における正の数全体の集合を本質的に特徴付けるものである。有限体テンプレート:Math (テンプレート:Math) において標準的な賦値（モジュラス）はテンプレート:Mvar-進絶対値の冪

| x |_{q} : = q^{- v_{p} (x)} = | x |_{p}^{f}

である。これを適当なハール測度による立方体の体積と理解することもある。

脚注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

↑ Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008テンプレート:要ページ番号
↑ Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877
↑ Lazare Nicolas M. Carnot, テンプレート:Google books。
↑ James Mill Peirce, テンプレート:Google books
↑ テンプレート:Citation
↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:MathWorld
↑ テンプレート:Citation
↑ たとえばテンプレート:Citation

[oed-1] Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008テンプレート:要ページ番号

[2] Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877

[3] Lazare Nicolas M. Carnot, テンプレート:Google books。

[4] James Mill Peirce, テンプレート:Google books

[5] テンプレート:Citation

[6] テンプレート:Cite book

[7] テンプレート:Cite book

[8] テンプレート:Cite book

[MathWorld-9] テンプレート:MathWorld

[10] テンプレート:Citation

[11] たとえばテンプレート:Citation

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絶対値

目次

用語と記法

定義

性質

絶対値函数

絶対値が誘導する距離

その他の絶対値

順序環における絶対値

複素数の絶対値

ベクトルのノルム

リース空間における絶対値

体の賦値

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目

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絶対値函数

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