中心つき多角数

中心つき多角数（ちゅうしんつきたかくすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、正多角形の形に点を中心から順に並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。

主な中心つき多角数は以下の通りである。

• 中心つき三角数：1, 4, 10, 19, 31, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき四角数：1, 5, 13, 25, 41, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき五角数：1, 6, 16, 31, 51, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき六角数：1, 7, 19, 37, 61, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき七角数：1, 8, 22, 43, 71, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき八角数：1, 9, 25, 49, 81, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき九角数：1, 10, 28, 55, 91, …（テンプレート:OEIS）
• 中心つき十角数：1, 11, 31, 61, 101, …（テンプレート:OEIS）

また、中心つき九角数は 6 以外の完全数を含み、中心つき八角数は奇数番目の平方数であり、中心つき十二角数は六芒星数と一致する。

例

中心つき四角数、中心つき六角数の例を以下に示す。

中心つき四角数

1		5		13		25

中心つき六角数

1		7		19		37

一般化

1 番目の中心つき k 角数を 1 とするとき、n 番目の中心つき k 角数 C_k,n は以下の式で表される。

$C_{k,n}=\frac{kn(n-1)}{2}+1$

また、n 番目の三角数 T_n を用いると

$C_{k,n}=k{T}_{n-1}+1$

となり、漸化式では次の通りとなる。

$C_{k,1}=1,C_{k,n+1}=C_{k,n}+kn$

数表

名前 ＼ n	一般式	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	OEIS
中心つき三角数	$\frac{3n^2-3n+2}{2}$	1	4	10	19	31	46	64	85	109	136	166	199	235	テンプレート:OEIS2C
中心つき四角数	$2n^2-2n+1$	1	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	テンプレート:OEIS2C
中心つき五角数	$\frac{5n^2-5n+2}{2}$	1	6	16	31	51	76	106	141	181	226	276	331	391	テンプレート:OEIS2C
中心つき六角数	$3n^2-3n+1.$	1	7	19	37	61	91	127	169	217	271	331	397	469	テンプレート:OEIS2C
中心つき七角数	$\frac{7n^2-7n+2}{2}$	1	8	22	43	71	106	148	197	253	316	386	463	547	テンプレート:OEIS2C
中心つき八角数	$4n^2-4n+1$	1	9	25	49	81	121	169	225	289	361	441	529	625	テンプレート:OEIS2C
中心つき九角数	$\frac{(3n-2)(3n-1)}{2}$	1	10	28	55	91	136	190	253	325	406	496	595	703	テンプレート:OEIS2C
中心つき十角数	$5n^2-5n+1$	1	11	31	61	101	151	211	281	361	451	551	661	781	テンプレート:OEIS2C
中心つき十一角数	$\frac{11n^2-11n+2}{2}$	1	12	34	67	111	166	232	309	397	496	606	727	859	テンプレート:OEIS2C
中心つき十二角数	$6n^2-6n+1$	1	13	37	73	121	181	253	337	433	541	661	793	937	テンプレート:OEIS2C
中心つき十三角数	$\frac{13n^2-13n+2}{2}$	1	14	40	79	131	196	274	365	469	586	716	859	1015	テンプレート:OEIS2C
中心つき十四角数	$7n^2-7n+1$	1	15	43	85	141	211	295	393	505	631	771	925	1093	テンプレート:OEIS2C
中心つき十五角数	$\frac{15n^2-15n+2}{2}$	1	16	46	91	151	226	316	421	541	676	826	991	1171	テンプレート:OEIS2C
中心つき十六角数	$8n^2-8n+1$	1	17	49	97	161	241	337	449	577	721	881	1057	1249	テンプレート:OEIS2C
中心つき十七角数	$\frac{17n^2-17n+2}{2}$	1	18	52	103	171	256	358	477	613	766	936	1123	1327	テンプレート:OEIS2C
中心つき十八角数	$9n^2-9n+1$	1	19	55	109	181	271	379	505	649	811	991	1189	1405	テンプレート:OEIS2C
中心つき十九角数	$\frac{19n^2-19n+2}{2}$	1	20	58	115	191	286	400	533	685	856	1046	1255	1483	テンプレート:OEIS2C
中心つき二十角数	$10n^2-10n+1$	1	21	61	121	201	301	421	561	721	901	1101	1321	1561	テンプレート:OEIS2C
中心つき二十一角数	$\frac{21n^2-21n+2}{2}$	1	22	64	127	211	316	442	589	757	946	1156	1387	1639	テンプレート:OEIS2C
中心つき二十二角数	$11n^2-11n+1$	1	23	67	133	221	331	463	617	793	991	1211	1453	1717	テンプレート:OEIS2C
中心つき二十三角数	$\frac{23n^2-23n+2}{2}$	1	24	70	139	231	346	484	645	829	1036	1266	1519	1795	テンプレート:OEIS2C
中心つき二十四角数	$12n^2-12n+1$	1	25	73	145	241	361	505	673	865	1081	1321	1585	1873	テンプレート:OEIS2C

関連項目

• 図形数
• 正多角形
• 多角数
• 六芒星数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld