平方数
テンプレート:出典の明記 テンプレート:No footnotes テンプレート:読み仮名とは、整数の自乗（二乗）で表される数である。平方数は図形数の特に多角数の一種であり、正方形をなすように等間隔に点を配列した際の点の個数に対応している。 テンプレート:読み仮名、テンプレート:読み仮名とも呼ばれる。
平方数の概念は有理数など整数以外の数に一般化できる（#一般化を参照）。
整数は無数に存在するため、平方数もまた無数に存在する。平方数の最初の数個は以下の通り（テンプレート:OEIS）：
性質
- （正の）約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る（一般に約数の個数は素因数の指数に1を足した数の積に等しく、約数の個数が奇数ならすべての指数は偶数となるため、奇数個の約数を持つ数は平方数でなければならない）
- 特に、正の約数が3個だけある自然数は素数の平方数である（その約数は テンプレート:Mvar を素数として テンプレート:Math2）
- 奇数の完全数は存在したとしても約数の個数が偶数であることが知られているため、平方数は完全数ではない
- テンプレート:Math から テンプレート:Math までの テンプレート:Mvar 個の奇数の総和は テンプレート:Math に等しい：
- テンプレート:Mvar 番目までの平方数の和は であり、これは テンプレート:Mvar 番目の四角錐数に等しい。また組合せ記号を用いて テンプレート:Math とも表現できる。
- テンプレート:Math を除く平方数の逆数の和は に収束する：テンプレート:Main
- 連続する平方数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の間に必ず素数があるかは証明されていない（ルジャンドル予想）
- 平方数の列の階差数列は公差 テンプレート:Math の等差数列であり、第2階差数列は定数列 テンプレート:Mathである。したがって平方数の列は2階等差数列である。
- 平方数は連続する2つの三角数の和で表せる
- 奇数の平方数の差はテンプレート:Mathの倍数となる（奇数 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar について、平方数の差 テンプレート:Math は（奇数同士の和差は偶数のため）偶数の積であり、テンプレート:Math は単偶数のため積の一方は複偶数となるから、結局 テンプレート:Math の倍数となる）
- 平方数を テンプレート:Math や テンプレート:Math で割った余りは テンプレート:Math または テンプレート:Math である。
- 多角数定理および類似の定理より以下のことが言える：
- 二個の平方数の和について以下のことが言える：
- テンプレート:Math の形の素数は2個の平方数の和で表せる
- テンプレート:Math の形の素数は テンプレート:Math で表せる
- テンプレート:Math の形の素数は テンプレート:Math で表せる
- 31個の数を除くすべての自然数は異なる平方数の和で表せる（テンプレート:OEIS）
- 相異なる2つの自然数からピタゴラス数を生成でき、直角三角形の斜辺に相当する数は2つの自然数の平方の和となり、他の一辺に相当する数は平方の差となる
平方数でもある数
- フィボナッチ数である平方数は テンプレート:Math のみである
- 三角数である平方数（平方三角数）は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
- 五角数である平方数は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
- 立方数でもある平方数は6乗数 テンプレート:Math である。テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
基数に依存する性質
- ハーシャッド数である平方数は テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）
- 十の位が奇数の平方数は、一の位が必ず テンプレート:Math になる。テンプレート:Math2 など。
- 下2桁が テンプレート:Math の平方数は、百の位が必ず テンプレート:Math2 のいずれかになる。テンプレート:Math2
- テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math、テンプレート:Math と テンプレート:Math のように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものがある。（テンプレート:OEIS）
- 十進法において、平方数の数字根は テンプレート:Math のどれかにしかならない
- これにより、三進法では三の位が テンプレート:Math の場合は一の位は テンプレート:Math または テンプレート:Math であり、三の位が テンプレート:Math の場合は一の位が テンプレート:Math としかならない
- 十進法において、平方数の下二桁は テンプレート:Math2 の22通りのうちどれかにしかならない
- これにより、テンプレート:Math で割った余りも テンプレート:Math のどれかにしかならないし テンプレート:Math で割った余りも テンプレート:Math のどれかにしかならない
- 平方数を二進法表示したとき、二の位は必ず テンプレート:Math となる（二進法では下2桁は テンプレート:Math2 の4通りであり、それぞれ平方すると テンプレート:Math2 と二の位がいずれも テンプレート:Math であるため）
一般化
有理数の平方として表される有理数を平方数ということもある。さらに一般には、可換体 テンプレート:Mvar の乗法群 テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Math（直積集合と紛れるおそれのないときにはこれを テンプレート:Math などと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主に テンプレート:Math のときに意味を持つ。