Hom関手

圏論において、対象の間の射の集合（テンプレート:Langともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、テンプレート:Lang-en）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。

定義

テンプレート:Mvar をテンプレート:仮リンク、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。テンプレート:Mvar の中のすべての対象 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対し、次のように集合の圏 テンプレート:Math への関手を定義する。

テンプレート:Math	テンプレート:Math
共変関手 テンプレート:Math は以下で与えられる： テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各対象 テンプレート:Mvar を集合 テンプレート:Math へ写す。 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各射 テンプレート:Math を、$g\mapsto f\circ g$ で定義される写像 テンプレート:Math へ写す。	反変関手 テンプレート:Math は以下で与えられる： テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各対象 テンプレート:Mvar を集合 テンプレート:Math へ写す。 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各射 テンプレート:Math を、$g\mapsto g\circ h$ で定義される写像 テンプレート:Math へ写す。

関手 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク（テンプレート:Lang-en）とも呼ばれる。関手のペア テンプレート:Math と テンプレート:Math は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア テンプレート:Mathと テンプレート:Math に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は テンプレート:Math を テンプレート:Mathに写す。

上の図式の可換性は、テンプレート:Math が テンプレート:Math から テンプレート:Math への、第1変数について反変で第2変数について共変であるテンプレート:仮リンクであることを示している。すなわち、テンプレート:Math は双関手$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{\_},\mathrm{\_}):C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times C\to 𝐒𝐞𝐭$$である。テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の逆圏である。関手が圏 テンプレート:Mvar からのものであることを強調するために、テンプレート:Math という記号が使われることもある。

米田の補題

テンプレート:Main 上の可換図式を見ると、すべての射 テンプレート:Math は自然変換$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(h,\mathrm{\_}):\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,\mathrm{\_})\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A^{\prime },\mathrm{\_})$$を与え、すべての射 テンプレート:Mathは自然変換$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{\_},f):\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{\_},B)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{\_},B^{\prime })$$を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 テンプレート:Mvar から関手圏 テンプレート:Math への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。

内部Hom関手

圏 テンプレート:Mvar 上の関手が、テンプレート:Math ではなく圏 テンプレート:Mvar 自身に値を持ち、テンプレート:Math のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

$[\mathrm{\_},\mathrm{\_}]:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times C\to C$

と書かれたり、$$\Rightarrow :C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times C\to C$$と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

$\text{hom}(\mathrm{\_},\mathrm{\_}):C^{\text{op}}\times C\to C$

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、テンプレート:仮リンクと呼ばれる。

閉圏の単位対象を テンプレート:Mvar とする。このとき、次の同型が成り立つ。$$\text{Hom}(I,\text{hom}(-,-))\simeq \text{Hom}(-,-)$$閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

$\text{Hom}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq \text{Hom}(X\otimes Y,Z)$

である。ここで $\otimes$ はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 $Y\Rightarrow Z$ を内部Homと呼ぶ。$\otimes$ がデカルト積 $\times$ であるとき、対象 $Y\Rightarrow Z$ を指数対象と呼び、$Z^Y$ と書くこともある。

内部Homは、圏のテンプレート:仮リンクと呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語であるテンプレート:仮リンクがある。

性質

• 次の形の関手は前層である：$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{\_},A):C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐒𝐞𝐭$$同様に、テンプレート:Math の形の関手は余前層である。

• 関手 テンプレート:Math がある テンプレート:Math と自然に同型であるとき、テンプレート:Mvar は表現可能関手であるという。同様に、テンプレート:Math に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

• 関手 テンプレート:Math は定義からテンプレート:日本語版にない記事リンクであり、特に恒等プロファンクタ ${\text{id}}_C:C\nrightarrow C$ である。

• 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、テンプレート:Math は極限を極限へ写し、同様に テンプレート:Math は テンプレート:Math の極限（すなわち テンプレート:Mvar の余極限）を テンプレート:Mvar の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

• テンプレート:Math をアーベル圏、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の対象とすると、テンプレート:Math は、テンプレート:Math からアーベル群の圏 テンプレート:Math への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である。

• テンプレート:Mvar を環、テンプレート:Mvar を左 テンプレート:Mvar-加群とする。関手 テンプレート:Math は、テンソル積関手 テンプレート:Math の右随伴関手である。

関連項目

• Ext関手
• 関手圏
• 表現可能関手

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
• Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom