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…up>∞</sup>(''S''¹)}} を[[円周]][[多様体]] {{math|''S''{{sup|1}}}} 上の[[滑らかな関数|滑らかな]]（複素）関数の[[結合代数|代数]]とする．このとき，{{mathbf|g}} と {{math|''C''^∞('' …ば滑らかさの制約があるからである．そうではなく，{{math|''S''¹}} から {{math|'''g'''}} への[[滑らかな関数]]，言い換えると，{{mathbf|g}} 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である． …

例えば、境界 <math>\partial\Omega</math> が[[滑らかな関数|区分的に滑らか]]であるような集合 <math>\Omega</math> 上の偏微分方程式の解を ''u'' とし、その境界が二つの部分 <math …

より一般に ''F'' を[[滑らかな関数]]として[[陰関数]] 特異点の概念はまったく局所的な性質であるので、上記の定義は[[滑らかな関数|滑らかな]]写像（''M'' から '''R'''ⁿ への関数ですべての微分が存在するもの）からなるより広いクラスに拡張できる。 …

…Lang-en-short|Weyl's lemma}}）とは、[[ヘルマン・ワイル]]の名にちなむもので、[[ラプラス方程式]]のすべての弱解は[[滑らかな関数|滑らか]]であることを述べている。これは例えば、滑らかでない弱解を持つ[[波動方程式]]とは対称的である。ワイルの補題は[[楕円型作用素|楕円型]]あ …

より詳しく書けば、[[滑らかな関数|滑らか]]な[[平面曲線]]の[[平面曲線#正則性と特異点|正則]]な[[媒介変数表示]] {{math|(''x'', ''y'') {{=}}… …

{{mvar|M}} を滑らかな多様体とし {{math|''f'' ∈ C^∞(''M'')}} を[[滑らかな関数]]とする。点 {{mvar|x}} における {{mvar|f}} の微分は写像 …

…ynamical systems theory}}において、ある[[多様体|滑らかな多様体]] ''M'' の部分集合 &Lambda; が、ある[[滑らかな関数|滑らかな写像]] ''f'' に関する'''双曲型構造'''（そうきょくがたこうぞう、{{Lang-en-short|hyperbolic struc …

== 滑らかな関数 == == 滑らかでない関数{{efn2|[[滑らかな関数]]（smooth function）ではない関数を指す。}} == …

[[Category:滑らかな関数]] …

<math>\boldsymbol R^n</math> の開集合 <math>\Omega</math> 上の[[滑らかな関数]]の空間 <math>C^\infty(\Omega)</math> はモンテル空間であり、その位相は各 <math>n=1,2,\ldots</ma …

…ュワルツ超函数|超函数]] <math>u</math> に対し、<math>Pu</math> が <math>C^\infty</math>（[[滑らかな関数|滑らか]]）であるなら <math>u</math> もまた <math>C^\infty</math> となることを言う。 …

対照的に，[[滑らかな多様体]]上の[[滑らかな関数]]の層に対しては，芽は局所的な情報を含んではいるが，任意の開近傍上の関数を再構成するには十分ではない．例えば，{{math|''f'': '''R'' …

1次元の場合に示す．高次元の場合の証明も同様である．まず {{mvar|f}} が[[コンパクト台]]を持つ[[滑らかな関数]]であるとする．すると部分積分により …

余接束の[[滑らかな関数|滑らかな]][[ファイバー束|断面]]は微分 [[1-形式]]である。 …

…）、'''微分 {{math|1}}-形式'''あるいは単に '''{{math|1}}-形式''' (one-form) とは、[[余接束]]の[[滑らかな関数|滑らかな]][[断面 (ファイバー束)|断面]]である。あるいは同値だが、多様体 ''M'' 上の 1-形式は ''M'' の[[接束]]の[[全空間 …

[[Category:滑らかな関数]] …

…]] '''R'''² で[[滑らかな関数|連続的微分可能]]であるとする。このとき、[[関数の台|コンパクトな台]]を持つ[[滑らかな関数]] <math>\varphi </math> を方程式 (1) に掛け、積分をすることによって、次の式が得られる： …

{{Redirect|連続的微分可能性|詳細|滑らかな関数}} {{main|滑らかな関数}} …

[[滑らかな関数]]たちとしよう。 …

「ソフトマックス softmax」という名前は誤解を招く恐れがある。この関数は[[極値|最大値]]関数の[[滑らかな関数|滑らかな近似]]ではなく、[[Arg max]]関数（どのインデックスが最大値を持つかを表す関数）の滑らかな近似値である。実際、「softmax」とい …