テンソル分解

テンソル分解（テンプレート:Lang-en-short)とはテンソルをより階数の少ないテンソル（含む行列やベクトル）の積和で表現する数学的な手法の総称である。行列に対する行列分解のテンソルへの拡張とみなすことができる。

よく用いられるテンソル分解

上述の様にテンソル分解には非常に多彩な自由度が存在するが、主に歴史的な経緯からいくつかのよく用いられる分解が存在する。

CP分解

テンプレート:仮リンクはテンソルをベクトルのクロネッカー積の和で表現する方法である。

 $𝒜 = \sum_{i = 1}^{R} λ_{i} 𝐚_{i}^{1} \otimes 𝐚_{i}^{2} \otimes \dots \otimes 𝐚_{i}^{m},$

ここで $𝒜 \in ℝ^{N_{1} \times N_{2} \times \dots \times N_{m}}$ はm階のテンソル、 $𝐚 \in ℝ^{N_{i}}$ は $N_{i}$ 次元のベクトルである。 $λ_{i} \in ℝ$ は各項の重みを表す係数であり、Rはテンソルのランクテンプレート:Efnと呼ばれる量である。

タッカー分解

テンプレート:仮リンクはm階のテンソルをテンソルとベクトルのテンソル積の和で表現する方法である。 $𝒜 = \sum_{j_{1} = 1}^{N_{1}} \sum_{j_{2} = 1}^{N_{2}} \dots \sum_{j_{m} = 1}^{N_{d}} s_{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{m}} 𝐮_{j_{1}}^{1} \otimes 𝐮_{j_{2}}^{2} \otimes \dots \otimes 𝐮_{j_{m}}^{m},$ 但し、 $𝐮^{i} \in ℝ^{N_{i} \times N_{i}}$ は直交行列である。

テンソルトレイン分解

テンソルトレイン分解^[1]はテンソルを三階のテンソルのテンソル積の和で表現する方法テンプレート:Efnである。量子力学の分野では、行列積状態(MPS: Matrix Product State)(への分解)とも呼ばれる。 $𝒜_{j_{1} j_{2} \dots j_{m}} = \sum_{i_{1} = 1}^{R_{1}} \sum_{i_{2} = 2}^{R_{1}} \dots \sum_{i_{m - 1} = 1}^{R_{m - 1}} U_{i_{1} j_{1}} U_{i_{1} i_{2} j_{2}} \dots U_{i_{m - 2} i_{m - 1} j_{m - 1}} U_{i_{m - 1} j_{m}}$ ここで $U_{i_{1} j_{1}} \in ℝ^{R_{1} \times N_{1}}, U_{i_{m - 1} j_{m}} \in ℝ^{R_{m - 1} \times N_{m}}, U_{i_{k - 1} i_{k} j_{k}} \in ℝ^{R_{k - 1} \times R_{k} \times N_{k}}$ である。