行列の分解

線型代数学という数学の分野において、行列の分解（ぎょうれつのぶんかい、テンプレート:Lang-en-short）とは、行列の行列の積への因数分解である．多くの異なった行列の分解があり、それぞれがある問題のために利用される。リー群の分解はこれらのより本質的な視点を与える。

例

数値解析において、異なる分解が効率的な行列アルゴリズムを実装するために用いられる。

例えば、線型方程式系（連立一次方程式）テンプレート:Math を解くとき、行列 テンプレート:Mvar はLU分解により分解できる。LU分解は行列を下三角行列 テンプレート:Mvar と上三角行列 テンプレート:Mvar の積に分解する。系 テンプレート:Math と テンプレート:Math は、もとの系 テンプレート:Math と比べて解くのに必要な加法や乗法が少ないが、浮動小数点のような不正確な計算ではかなりの桁数を必要とし得る。

同様に、QR分解は テンプレート:Mvar を直交行列 テンプレート:Mvar と上三角行列 テンプレート:Mvar の積 テンプレート:Mvar として表す。系 テンプレート:Math は テンプレート:Math によって解かれ、系 テンプレート:Math は 'テンプレート:仮リンク' によって解かれる。必要な加法と乗法の回数はLU分解のときの約2倍だが、QR分解はテンプレート:仮リンクなため不正確な計算においてより多くの桁数が必要とならない。

線型方程式系を解くことと関係する分解

LU分解

• 適用：正方行列 テンプレート:Mvar
• 分解：テンプレート:Math,、ただし テンプレート:Mvar は下三角行列で テンプレート:Mvar は上三角行列
• 関連：LDU分解は テンプレート:Math である、ただし テンプレート:Mvar は下三角行列で対角線に 1 が並び、テンプレート:Mvar は上三角行列で対角線に 1 が並び、テンプレート:Mvar は対角行列である．
• 関連：テンプレート:仮リンクは テンプレート:Math である、ただし テンプレート:Mvar は下三角行列で、テンプレート:Mvar は上三角行列で、テンプレート:Mvar は置換行列である．
• 存在： LUP 分解は任意の正方行列 テンプレート:Mvar に対して存在する。テンプレート:Mvar が単位行列のとき、LUP分解はLU分解となる。LU分解が存在すればLDU分解も存在するテンプレート:Sfn。
• コメント：LUP 分解と LU 分解は テンプレート:Math の線型方程式系 テンプレート:Math を解く際に有用である。これらの分解はガウスの消去法の過程を行列の形にまとめたものである。行列 テンプレート:Mvar はガウスの消去法の過程で行われる任意の行の交換を表す。ガウスの消去法で行の交換なしに行階段形になれば テンプレート:Math であり、したがって LU 分解は存在する。

階数因数分解

• 適用：階数 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 行列 テンプレート:Mvar
• 分解：テンプレート:Math、ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の full column rank matrix であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の full row rank matrix である。
• コメント：階数因数分解は テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクを計算するのに使え、適用して線型系 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクことができる。

コレスキー分解

• 適用：正方，対称，正定値行列 テンプレート:Mvar
• 分解：テンプレート:Math,、ただし テンプレート:Mvar は上三角行列で対角成分は正
• コメント：実対称正定値行列のコレスキー分解は一意にできる（上三角行列Uの対角要素を正にとる）。
• コメント：実対称と複素対称にも一応適用ができるが、行列が正則でも分解が存在しない（破綻する）可能性がある。
• コメント：コレスキー分解は複素エルミート行列にも適用できる（その場合にはUの転置はUのエルミート転置に読み替える）。必ずしも分解が存在しないが、行列が正定値なら必ず分解できる。
• コメント：代替はテンプレート:仮リンクであり，平方根を引き出すことを避けられる．

QR分解

• 適用：テンプレート:Math 行列 テンプレート:Mvar
• 分解：テンプレート:Math,、ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 次直交行列であり，テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の上三角行列である。
• コメント：QR分解は方程式系 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の逆行列を求めずに解く別の方法を提供する。テンプレート:Mvar が直交行列であることは テンプレート:Math を意味するので、テンプレート:Math は テンプレート:Math と同値であり、後者は テンプレート:Mvar が三角行列だから解きやすい。

固有値や関連概念に基づく分解

固有値分解

• テンプレート:仮リンクとも呼ばれる。
• 適用：相異なる固有ベクトルを持つ正方行列 テンプレート:Mvar（固有値は同じものがあってもよい）。
• 分解：テンプレート:Math、 ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の固有値からなる対角行列で，テンプレート:Mvar の行は対応する テンプレート:Mvar の固有ベクトル。
• 存在：テンプレート:Math 行列 テンプレート:Mvar はつねに（重複を込めて） テンプレート:Mvar 個の固有値を持ち、それらを並べて テンプレート:Math の対角行列 テンプレート:Mvar と対応する零でない行の行列 テンプレート:Mvar を作ることができ、固有値方程式 テンプレート:Math を満たす。テンプレート:Mvar 個の固有ベクトルが相異なるとき、テンプレート:Mvar は可逆であり、分解 テンプレート:Math ができる。
• コメント：固有ベクトルの長さが テンプレート:Math であるように正規化することがいつでもできる。テンプレート:Mvar が実対称行列であれば、テンプレート:Mvar はいつでも可逆であり正規化された列を持つようにできる。すると等式 テンプレート:Math が成り立つ、なぜならば各固有ベクトルは互いに直交するからである。したがって、分解は テンプレート:Math となる。
• コメント：テンプレート:Mvar 個の相異なる固有値をもつという条件は十分ではあるが必要ではない。必要十分条件は各固有値の幾何学的重複度がその代数的重複度に等しいことである。
• コメント：固有分解は線型常微分方程式系あるいは線型差分方程式系の解の理解に有用である。例えば，初期条件 テンプレート:Math から始まる差分方程式 テンプレート:Math は テンプレート:Math によって解かれ、これは テンプレート:Math に同値であり、ここで テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の固有ベクトルと固有値から作られる行列である。テンプレート:Mvar は対角行列だから、冪 テンプレート:Mvar は単に各対角成分を テンプレート:Mvar 乗するだけである。テンプレート:Mvar は普通対角でないから テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 乗するよりもはるかに容易である。

ジョルダン分解

ジョルダン標準形とテンプレート:仮リンク

• 適用：正方行列 テンプレート:Mvar
• コメント：ジョルダン標準形は固有分解を固有値に重複があり対角化できない場合に一般化し、ジョルダン・シュヴァレー分解はこれを基底を選ばずに行う。

シューア分解

• 適用：正方行列 テンプレート:Mvar
• コメント：この分解には2つのバージョンがある．複素シューア分解と実シューア分解である．複素行列は必ず複素シューア分解を持つ．
• 分解（複素バージョン）：テンプレート:Math、 ただし テンプレート:Mvar がユニタリ行列で、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の共役転置で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の固有値を対角線に持つ複素シューア標準形と呼ばれる上三角行列である。
• 分解（実バージョン）：テンプレート:Math、ただし テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は実数のみからなる行列である。テンプレート:Mvar は直交行列で，テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の転置で、テンプレート:Mvar は実シューア標準形と呼ばれるブロック上三角行列である。テンプレート:Mvar の対角にあるブロックのサイズは テンプレート:Math（実固有値を表す）かまたは テンプレート:Math（複素共役な固有値の対から導かれる）である。

QZ分解

• 別名：一般シューア分解
• 適用：正方行列 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar
• コメント：この分解には2つのバージョンがある：複素と実．
• 分解（複素バージョン）：$A=QS{Z}^{*}$ および $B=QT{Z}^{*}$, ただし テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar はユニタリ行列で，テンプレート:Math は共役転置を表し，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は上三角行列である．
• コメント：複素QZ分解において，テンプレート:Mvar の対角成分と対応する テンプレート:Mvar の対角成分の比 テンプレート:Math は一般化固有値問題 テンプレート:Math（ただし テンプレート:Mvar は未知のスカラーで テンプレート:Mvar は未知の非零ベクトル）を解く一般化固有値である．
• 分解（実バージョン）：テンプレート:Math および テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は実数のみを成分とする行列である．この場合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は直交行列であり．テンプレート:Mvar は転置を表し，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar はブロック上三角行列である． テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の対角ブロックのサイズは テンプレート:Math か テンプレート:Math である．

高木分解

• 適用：正方，複素，対称行列 テンプレート:Mvar.
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は実非負対角行列で，テンプレート:Mvar はユニタリ行列である．テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の転置を表す．
• コメント：テンプレート:Mvar の対角成分は テンプレート:Math の固有値の非負の平方根である．
• コメント：テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar が実のときでさえ複素かもしれない．
• コメント：これは固有分解（上述）の特別な場合ではない．

特異値分解

• 適用：テンプレート:Math 行列 テンプレート:Mvar.
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は非負対角行列で，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar はユニタリ行列で，テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の共役転置を表す（テンプレート:Mvar が実数のみからなるときは単に転置である）．
• コメント：テンプレート:Mvar の対角成分は テンプレート:Mvar の特異値と呼ばれる．
• コメント：上の固有分解と同様，特異値分解は行列の乗法がスカラー乗法と同じになる基底の方向を見つけることと関わるが，考える行列が正方行列でなくてもよいからより広い一般性を持つ．

他の分解

極分解

• 適用：正方，複素，行列 テンプレート:Mvar．
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar はユニタリ行列で テンプレート:Mvar は半正定値エルミート行列である．

代数的極分解

• 適用：正方，複素，非特異行列 テンプレート:Mvar.
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は複素直交行列で テンプレート:Mvar は複素対称行列．
• コメント：この分解の存在は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に相似であることと同値である．

Sinkhorn 標準形

• 適用：正方実行列 テンプレート:Mvar で真に正の成分からなるもの．
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は 二重確率行列で テンプレート:Math と テンプレート:Math は真に正の成分からなる実対角行列である．

扇形分解

• 適用：正方，複素行列 テンプレート:Mvar で テンプレート:仮リンク が扇形 $S_{\alpha }=\{r{e}^{i\theta }\in ℂ\mid r>0,|\theta |\le \alpha <\frac{\pi }{2}\}$ に含まれるもの．
• 分解：テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は可逆複素行列で，テンプレート:Math ですべての $|{\theta }_j|\le \alpha$ ．

一般化

テンプレート:Expand section quasimatrix（準行列）および cmatrix あるいは continuous matrix（連続行列）に対して SVD, QR, LU, コレスキー分解の類似がある。‘quasimatrix’は，行列のように、長方形の体系で、元は添え字付けられているが、1つの離散的な添え字が連続的な添え字に置き換えられる。同様に，‘cmatrix’は両方の添え字が連続である。cmatrix の例として，積分作用素の核を考えることができる。

これらの分解は テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxt による初期の研究に基づいている。これら独創的な論文の説明と英訳は テンプレート:Harvtxt を参照

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
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参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation

外部リンク

• Online Matrix Calculator
• Wolfram Alpha Matrix Decomposition Computation » LU and QR Decomposition
• Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization
• GraphLab en:GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.