ハドヴィッガー・フィンスラー不等式

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式（ハドヴィッガー・フィンスラーふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）または単にハドヴィッガーの不等式は、平面幾何学における三角形の幾何不等式である。具体的には、三角形の3辺の長さをそれぞれテンプレート:Mvar、面積をテンプレート:Mvarとして次の不等式が成立する。

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}T$

関連する不等式

• テンプレート:仮リンク（Weitzenböck's inequality）はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の系である。

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}T\text{(W)}.$

逆にハドヴィッガー・フィンスラー不等式は、ヴァイツェンベックの不等式をcircummidarc triangleに適応すれば得ることができる。

ヴァイツェンベックの不等式はヘロンの公式を用いて証明できる。ヘロンの公式を用いた証明では、等号成立条件は元の三角形が正三角形であること、つまりテンプレート:Mathであることが分かる。

• ハドヴィッガー・フィンスラー不等式は凸な四角形に拡張することができる。4辺の長さをそれぞれテンプレート:Mvar、面積をテンプレート:Mvarとして次の不等式が成立する。

$a^2+b^2+c^2+d^2\ge 4T+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\sum (a-b{)}^2$

ただし

$\sum (a-b{)}^2=(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(a-d{)}^2+(b-c{)}^2+(b-d{)}^2+(c-d{)}^2$

等号成立条件は四角形が正方形である、つまりテンプレート:Math であるとき。

証明

余弦定理より

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

ただしテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの夾角。これを変形して、

$a^2=(b-c{)}^2+2bc(1-\cos \alpha )$

テンプレート:Mathと置けば、

$a^2=(b-c{)}^2+4A\frac{(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }$

半角の公式または倍角の公式より、

$1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$

が成立するので、

$a^2=(b-c{)}^2+4A\tan \frac{\alpha }{2}$

を得る。この式をすべての辺に適用して辺々足せば、

$a^2+b^2+c^2=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4A(\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2})$

を得る。ただしテンプレート:Mvarはそれぞれ三角形の他の内角。正接関数はテンプレート:Mathの範囲で下に凸であるので、イェンセンの不等式より

$\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\ge 3\tan \frac{\alpha +\beta +\gamma }{6}=3\tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$

したがって

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}A$

である。ところでテンプレート:Mathは三角形の面積を表すから、題意の不等式を得る。

歴史

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式はポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーの名を冠している。彼らは共同論文内でこの不等式をフィンスラー・ハドヴィッガーの定理とともに発表した。

関連項目

• 三角形に関する不等式の一覧
• 等周定理
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite journal

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, テンプレート:ISBN2, pp. 84-86

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:高校数学の美しい物語