積分曲線

微分方程式 テンプレート:Math に対応する テンプレート:仮リンク に対する3つの積分曲線．

数学において，積分曲線（せきぶんきょくせん，テンプレート:Lang-en-short）は常微分方程式あるいは方程式系の特定の解を表すパラメトリック曲線である．微分方程式がベクトル場あるいは テンプレート:仮リンク として表されているとき，対応する積分曲線は各点で場に接する．

積分曲線は，微分方程式やベクトル場の性質や解釈に応じて，様々な他の名前で呼ばれる．物理学では，電場や磁場に対する積分曲線は テンプレート:仮リンク と呼ばれ，流体のテンプレート:仮リンクに対する積分曲線は流線と呼ばれる．テンプレート:仮リンクでは，系を記述する微分方程式の積分曲線は軌道と呼ばれる．

定義

テンプレート:Mathbf をベクトル場とする，つまり，デカルト座標のベクトル値関数 テンプレート:Math とする．テンプレート:Math をデカルト座標 テンプレート:Math のパラメトリック曲線とする．このとき テンプレート:Math が テンプレート:Mathbf の積分曲線 (integral curve) であるとは，それが次の常微分方程式の自励系の解であることをいう：

$\begin{array}{cc}\frac{d{x}_1}{dt}& =F_1(x_1,\dots ,x_n)\\ & ⋮\\ \frac{d{x}_n}{dt}& =F_n(x_1,\dots ,x_n).\end{array}$

そのような系は1つのベクトルの方程式として書ける：

${𝐱}^{\prime }(t)=𝐅(𝐱(t)).$

この方程式は曲線に沿った任意の点 テンプレート:Math において曲線に接するベクトルはちょうどベクトル テンプレート:Math であり，したがって曲線 テンプレート:Math はベクトル場 テンプレート:Mathbf に各点で接するということを言っている．

与えられたベクトル場がリプシッツ連続ならば，テンプレート:仮リンクにより，小さい時間に対して一意的なフローが存在する．

可微分多様体への一般化

定義

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 級，テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクとする．通常通り，テンプレート:Mvar で テンプレート:Mvar の接束を表す．自然な射影を テンプレート:Math は

${\pi }_M:(x,v)\mapsto x$

で与えられる．テンプレート:Mvar 上のベクトル場は接束 テンプレート:Mvar の切断，すなわち，多様体 テンプレート:Mvar の各点にその点での テンプレート:Mvar の接ベクトルを割り当てる写像である．テンプレート:Mvar を テンプレート:Math 級の テンプレート:Mvar 上のベクトル場とし，テンプレート:Math とする．時間 テンプレート:Math で テンプレート:Mvar を通る テンプレート:Mvar の積分曲線とは，次のような テンプレート:Math 級曲線 テンプレート:Math である：テンプレート:Math を含む実数直線 テンプレート:Mathbf の開区間 テンプレート:Mvar 上で定義されていて，

$\alpha (t_0)=p;$

${\alpha }^{\prime }(t)=X(\alpha (t))\text{ for all }t\in J$

を満たす．

常微分方程式との関係

時間 テンプレート:Math で テンプレート:Mvar を通るベクトル場 テンプレート:Mvar の積分曲線 テンプレート:Mvar の上記の定義は，テンプレート:Mvar が次の常微分方程式の初期値問題の局所的な解であるということと同じである：

$\alpha (t_0)=p;$

${\alpha }^{\prime }(t)=X(\alpha (t)).$

それは テンプレート:Mvar 内の時間に対してのみ定義されていて，すべての テンプレート:Math（もちろん テンプレート:Math も）に対して定義されている必要はないという意味で局所的である．したがって，積分曲線の存在と一意性を証明する問題は常微分方程式・初期値問題の解を見つけそれが一意であることを示す問題と同じである．

時間微分についての注意

上で テンプレート:Math は時刻 テンプレート:Mvar での テンプレート:Mvar の微分，時刻 テンプレート:Mvar で「テンプレート:Mvar が指している方向」を表す．より抽象的な視点からは，これはフレシェ微分である：

$({\mathrm{d}}_{t}f)(+1)\in {\mathrm{T}}_{\alpha (t)}M.$

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の開部分集合という特別な場合には，これはよく知っている微分

$(\frac{\mathrm{d}{\alpha }_1}{\mathrm{d}t},\dots ,\frac{\mathrm{d}{\alpha }_n}{\mathrm{d}t})$

である，ただし テンプレート:Math は通常の座標方向についての テンプレート:Mvar の座標である．

同じことはテンプレート:仮リンクのことばでさらに抽象的に述べることができる．テンプレート:Mvar の接束 テンプレート:Math は自明束 テンプレート:Math であり，すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math（より正確には テンプレート:Math）なるこの束の自然な切断 テンプレート:Mvar が存在する．曲線 テンプレート:Mvar は次の図式が可換になるような束写像 テンプレート:Math を誘導する：

このとき時間微分 テンプレート:Math は合成 テンプレート:Math であり，テンプレート:Math は点 テンプレート:Math におけるその値である．

参考文献

• テンプレート:Cite book