7の平方根

The rectangle that bounds an equialateral triangle of side 2, or a regular hexagon of side 1, has size square root of 3 by square root of 4, with a diagonal of square root of 7.

A Logarex system Darmstadt slide rule with 7 and 6 on A and B scales, and square roots of 6 and of 7 on C and D scales, which can be read as slightly less than 2.45 and somewhat more than 2.64, respectively

7の平方根（ななのへいほうこん、テンプレート:Lang-en-short）は、平方して7となる実数である。すなわち、$r^2=r\times r=7$ をみたす実数テンプレート:Mvarであり、冪根形式では$\sqrt{7}$、 指数形式では$7^{\frac{1}{2}}$と表される。無理数かつ代数的数である。

最初の60桁の有効数字は

テンプレート:Gaps

これは約99.99%の精度（1000分の1）以内で2.646に切り上げることができるが、正確な値とは約テンプレート:Sfrac異なっている。テンプレート:Sfrac（≈ 2.645833...）の方がより良い近似値である。分母がわずか48しかないにもかかわらず、正確な値とはテンプレート:Sfrac（33000分の1）未満の差しかない。

$\sqrt{7}$の小数表示100万桁以上が公開されている。

有理近似

Explanation of how to extract the square root of 7 to 7 places and more, from Hawney, 1797

The extraction of decimal-fraction approximations to square roots by various methods has used the square root of 7 as an example or exercise in textbooks, for hundreds of years. Different numbers of digits after the decimal point are shown: 5 in 1773 and 1852, 3 in 1835, 6 in 1808, and 7 in 1797. An extraction by Newton's method (approximately) was illustrated in 1922, concluding that it is 2.646 "to the nearest thousandth".

For a family of good rational approximations, the square root of 7 can be expressed as the continued fraction

$[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]=2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\dots }}}}}.$ テンプレート:OEIS

The successive partial evaluations of the continued fraction, which are called its convergents, approach $\sqrt{7}$:

$\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14},\frac{45}{17},\frac{82}{31},\frac{127}{48},\frac{590}{223},\frac{717}{271},\dots$

Their numerators are 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257…テンプレート:OEIS , and their denominators are 1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192,…テンプレート:OEIS.

Each convergent is a best rational approximation of $\sqrt{7}$; in other words, it is closer to $\sqrt{7}$ than any rational with a smaller denominator. Approximate decimal equivalents improve linearly (number of digits proportional to convergent number) at a rate of less than one digit per step:

$\frac{2}{1}=2.0,\frac{3}{1}=3.0,\frac{5}{2}=2.5,\frac{8}{3}=2.66\dots ,\frac{37}{14}=2.6429...,\frac{45}{17}=2.64705...,\frac{82}{31}=2.64516...,\frac{127}{48}=2.645833...,\dots$

Every fourth convergent, starting with テンプレート:Math, expressed as テンプレート:Math, satisfies the Pell's equation

$x^2-7y^2=1.$

When $\sqrt{7}$ is approximated with the Babylonian method, starting with テンプレート:Math and using テンプレート:Math, the テンプレート:Mathth approximant テンプレート:Math is equal to the テンプレート:Mathth convergent of the continued fraction:

$x_1=3,x_2=\frac{8}{3}=2.66...,x_3=\frac{127}{48}=2.6458...,x_4=\frac{32257}{12192}=2.645751312...,x_5=\frac{2081028097}{786554688}=2.645751311064591...,\dots$

All but the first of these satisfy the Pell's equation above.

The Babylonian method is equivalent to Newton's method for root finding applied to the polynomial $x^2-7$. The Newton's method update, $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f^{\prime }(x_n),$ is equal to $(x_n+7/x_n)/2$ when $f(x)=x^2-7$. The method therefore converges quadratically (number of accurate decimal digits proportional to the square of the number of Newton or Babylonian steps).

幾何学

Root rectangles illustrate a construction of the square root of 7 (the diagonal of the root-6 rectangle).

平面幾何学において、$\sqrt{7}$は一連の動的な長方形により、すなわち上図の長方形の最大の対角線として表される。

辺の長さが2の正三角形に外接する最小の長方形は長さ$\sqrt{7}$の対角線を持つ。

数学以外の分野

Scan of US dollar bill reverse with root 7 rectangle annotation

現行のアメリカ合衆国1ドル紙幣の裏にある大きな内箱は長さと幅の比が$\sqrt{7}$で、対角線の長さが6.0インチである（測定精度の範囲内で）。

関連項目

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根
• 5の平方根
• 6の平方根
• 10の平方根