ソボレフ不等式

数学の解析学の分野には、ソボレフ空間のノルムを含むノルムに関して、ソボレフ不等式（ソボレフふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）の類が存在する。それらは、ある種のソボレフ空間の間の包含関係を与えるソボレフ埋蔵定理（Sobolev embedding theorem）や、わずかに強い条件の下でいくつかのソボレフ空間は別のものにコンパクトに埋め込まれることを示すレリッヒ＝コンドラショフの定理を証明するために用いられる。セルゲイ・ソボレフの名にちなむ。

ソボレフ埋蔵定理

テンプレート:Math 上のすべての実数値函数で、テンプレート:Mvar 階までの弱微分が [[Lp空間|テンプレート:Math]] に含まれるものからなるソボレフ空間を テンプレート:Math と表す。ここで テンプレート:Mvar は非負の整数で、テンプレート:Math である。ソボレフ埋蔵定理の第一の部分では、テンプレート:Math と テンプレート:Math が テンプレート:Math および

$\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-l}{n}$

を満たす二つの実数であるなら、

$W^{k,p}({𝐑}^n)\subset W^{l,q}({𝐑}^n)$

であり、この埋め込みは連続であることが示されている。テンプレート:Math および テンプレート:Math であるような特別な場合では、次が成り立つ:

$W^{1,p}({𝐑}^n)\subset L^{p^{*}}({𝐑}^n)$

ここで テンプレート:Math は、次で与えられる テンプレート:Mvar のソボレフ共役である:

$\frac{1}{p^{*}}:=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}.$

このようなソボレフ埋蔵定理の特別な場合は、ガリャルド=ニーレンバーグ=ソボレフ不等式（Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality）の直接的な帰結である。

ソボレフ埋蔵定理の第二の部分は、ヘルダー空間 テンプレート:Math の埋め込みに対して適用される。すなわち、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であるなら、次の埋め込みが成立する:

$W^{k,p}({𝐑}^n)\subset C^{r,\alpha }({𝐑}^n).$

ソボレフ埋蔵定理のこの部分は、モレーの不等式（Morrey's inequality）の直接的な帰結である。直感的に、十分高い階の弱微分の存在は古典的な微分のある種の連続性を意味することを、この包含関係は表している。

一般化

ソボレフ埋蔵定理は、他の適切な領域 テンプレート:Mvar 上のソボレフ空間 テンプレート:Math に対しても成立する。特に、上述の第一、第二のいずれの部分も成立するための十分条件として、次が挙げられる（テンプレート:Harvnb; テンプレート:Harvnb）：

• テンプレート:Mvar はリプシッツ境界を持つ（あるいは境界が錐条件を満たす；テンプレート:Harvnb）テンプレート:Math 内の有界開集合；
• テンプレート:Mvar はコンパクトリーマン多様体；
• テンプレート:Mvar はリプシッツ境界を持つコンパクトリーマン多様体；
• テンプレート:Mvar は単射半径 テンプレート:Math と有界な断面曲率を持つ完備リーマン多様体。

コンドラショフ埋蔵定理

境界が テンプレート:Math であるようなコンパクト多様体に関するコンドラショフ埋蔵定理（Kondrachov embedding theorem）では、テンプレート:Math と テンプレート:Math が成り立つなら、ソボレフの埋め込み

$W^{k,p}(M)\subset W^{l,q}(M)$

は完全連続であることが示されている。

ガリャルド＝ニーレンバーグ=ソボレフ不等式

テンプレート:Mvar はコンパクトな台を持つ テンプレート:Math 上の連続的微分可能な実数値函数とする。このとき テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar にのみ依存するある定数 テンプレート:Mvar が存在して次の不等式が成り立つ:

$\Vert u{\Vert }_{L^{p^{*}}({𝐑}^n)}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^p({𝐑}^n)}.$

このガリャルド＝ニーレンバーグ＝ソボレフ不等式は、次のソボレフの埋め込みを直接的に意味する:

$W^{1,p}({𝐑}^n)\subset L^{p^{*}}({𝐑}^n).$

すると適切に反復することにより、テンプレート:Math 上の他の位数の埋め込みも得ることが出来る。

ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題

ソボレフ自身によるソボレフ埋蔵定理の本来の証明は、ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフのテンプレート:仮リンク定理として知られる以下の内容に従うものであった。同様の内容は テンプレート:Harv においてはソボレフの補題としても知られている。証明は テンプレート:Harv に見られる。

テンプレート:Math と テンプレート:Math を定める。テンプレート:Math を テンプレート:Math 上のリースポテンシャルとする。このとき、

$q:=\frac{pn}{n-\alpha p}$

に対して、テンプレート:Mvar にのみ依存する定数 テンプレート:Mvar が存在して、次が成り立つ:

${\Vert I_{\alpha }f\Vert }_q\le C\Vert f{\Vert }_p.$

テンプレート:Math なら、次の弱い形式の評価が成立する:

$m\{x;|I_{\alpha }f(x)|>\lambda \}\le C(\frac{\Vert f{\Vert }_1}{\lambda }{)}^q$

ここで テンプレート:Math である。

ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題は、リース変換とリースポテンシャルの間の関係により、本質的にソボレフの埋め込みを意味するものである。

モレーの不等式

テンプレート:Math とする。このとき、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar にのみ依存するある定数 テンプレート:Mvar が存在して、すべての テンプレート:Math に対して次の不等式が成り立つ。

$\Vert u{\Vert }_{C^{0,\gamma }({𝐑}^n)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}({𝐑}^n)}$

ここで

$\gamma :=1-\frac{n}{p}$

である。したがって テンプレート:Math であるなら、測度 0 の集合上で再定義されることもあり得るが、テンプレート:Mvar は指数 テンプレート:Mvar のヘルダー連続である。

同様の結果は、境界が テンプレート:Math であるような有界領域 テンプレート:Mvar に対しても成り立つ。この場合、

$\Vert u{\Vert }_{C^{0,\gamma }(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(U)}$

となる。ここで定数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar に依存する。この場合の不等式は、テンプレート:Math から テンプレート:Math へのノルム保存拡張を行うことで、上述の不等式より従う。

一般ソボレフ不等式

テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の有界開部分集合で、その境界は テンプレート:Math であるとする（テンプレート:Mvar は非有界である場合もあるが、その場合の境界は存在するなら十分に良く振る舞うものである）。テンプレート:Math を仮定し、次の二つの場合を考える。

テンプレート:Math

この場合、テンプレート:Math である。但し

$\frac{1}{q}:=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}$

である。さらに次の評価が成り立つ。

$\Vert u{\Vert }_{L^q(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)}$

この定数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar にのみ依存する。

テンプレート:Math

この場合、テンプレート:Mvar はヘルダー空間に属する。より正確に言うと、

$u\in C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U),$

が成り立つ。ここで

$\gamma =\{\begin{array}{cc}[n/p]+1-n/p& n/p\notin 𝐙\\ \text{any element in }(0,1)& n/p\in 𝐙\end{array}$

である。さらに次の不等式が成り立つ。

$\Vert u{\Vert }_{C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)}.$

ここで定数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar にのみ依存する。

$p=n,k=1$ の場合

$u\in W^{1,n}({𝐑}^n)$ なら、テンプレート:Mvar はテンプレート:仮リンクの函数であり、

$\Vert u{\Vert }_{BMO}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^n({𝐑}^n)},$

が テンプレート:Mvar にのみ依存するある定数 テンプレート:Mvar に対して成立する。この評価はポアンカレ不等式の系である。

ナッシュ不等式

テンプレート:Harvs によって導入されたナッシュ不等式によると、すべての テンプレート:Math に対してある定数 テンプレート:Math が存在し、次が成立する:

$\Vert u{\Vert }_{L^2({𝐑}^n)}^{1+2/n}\le C\Vert u{\Vert }_{L^1({𝐑}^n)}^{2/n}\Vert Du{\Vert }_{L^2({𝐑}^n)}.$

この不等式は、フーリエ変換の基本的な性質より従う。実際、半径 テンプレート:Mvar の球の補集合についての積分に対して、

がパーセバルの定理より従う。一方、

$|\hat{u}|\le \Vert u{\Vert }_{L^1}$

が得られるため、これを半径 テンプレート:Mvar の球について積分すると

が得られる。ここで テンプレート:Math は n 球の体積である。(テンプレート:EquationNote) と (テンプレート:EquationNote) の和を最小化するように テンプレート:Mvar を選び、再びパーセバルの定理を適用することで、

$\Vert \hat{u}{\Vert }_{L^2}=\Vert u{\Vert }_{L^2}$

が得られる。これによりナッシュ不等式が従う。

テンプレート:Math であるような特別な場合、ナッシュ不等式は テンプレート:Math に対して拡張され、その場合はガリャルド＝ニーレンバーグ＝ソボレフ不等式の特別な場合と見なされる テンプレート:Harv。実際、テンプレート:Mvar が有界区間なら、すべての テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して、次の不等式が成り立つ。

$\Vert u{\Vert }_{L^p(I)}\le C\Vert u{\Vert }_{L^q(I)}^{1-a}\Vert u{\Vert }_{W^{1,r}(I)}^a.$

但し

$a(\frac{1}{q}-\frac{1}{r}+1)=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$

が成立するものとする。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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• テンプレート:Citation, Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
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• テンプレート:SpringerEOM
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