多重線型写像

線型代数学において、多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）は各変数ごとに線型な多変数関数である。正確には、多重線型写像は、$V_1,\dots ,V_n$ および テンプレート:Mvar をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像 $$f:V_1\times \cdots \times V_n\to W$$である： 各 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar を除くすべての変数を固定して変化させないとき、$f(v_1,\dots ,v_n)$ は テンプレート:Mvar に関して線型である。

一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、テンプレート:Mvar 変数の多重線型写像は テンプレート:Mvar 重線型写像 (テンプレート:Mvar-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。

すべての変数が同じ空間に属していれば、テンプレート:仮リンク、反対称、テンプレート:仮リンク k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、テンプレート:Ill2環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。

多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。

定義

テンプレート:Math を整数とし、テンプレート:Math2 を同じ体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間とする。写像 $$f:E_1\times \dots \times E_k\to F$$ が多重線型（より明示的に テンプレート:Mvar-重線型）であるとは、各変数について線型であること、つまり、任意のベクトル $x_1,\dots ,x_k,x{\text{'}}_i$ とスカラー テンプレート:Mvar に対し、$$f(x_1,\dots ,x_{i-1},a{x}_i+bx{\text{'}}_i,x_{i+1},\dots ,x_k)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_k)+bf(x_1,\dots ,x{\text{'}}_i,\dots x_k)$$ が成り立つことをいう。やや感覚的な言い方をすれば、テンプレート:Mvar-重線型写像は、各因子に関して分配的な テンプレート:Mvar 項の積と思える。

テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への テンプレート:Mvar-重線型写像全体の集合は、テンプレート:Math から テンプレート:Mvar へのすべての写像からなる空間 テンプレート:仮リンクの部分ベクトル空間である。このベクトル空間を、テンプレート:Math, あるいは テンプレート:Math であるときはより簡単に テンプレート:Math と記す。また特に、テンプレート:Mvar 上の [[多重線型形式|テンプレート:Mvar-重線型形式]]の空間 テンプレート:Math を テンプレート:Math と書く。

空間 テンプレート:Math は、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への線型写像の空間 テンプレート:Math にほかならないが、テンプレート:Math のときには多重線型写像の空間 テンプレート:Math とテンプレート:仮リンク テンプレート:Math 上の線型写像の空間とを混同してはならない。

• 例えば、テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への写像の場合、乗法 $(x_1,x_2)\mapsto x_1{x}_2$ は双線型だが線型でなく、対して射影 $(x_1,x_2)\mapsto x_1$ は線型だが双線型でない。

しかしテンソル積空間 テンプレート:Math 上の線型写像の空間 テンプレート:Math は（テンソル積の普遍性により）多重線型写像の空間 テンプレート:Math と対応する（後述）。

成分表示

${ℬ}_1,\dots ,{ℬ}_k$ はそれぞれ $E_1,\dots ,E_k$ の（有限とは限らない）基底とすれば、制限写像 $$L(E_1,\dots ,E_k;F)\to F^{{ℬ}_1\times \cdots \times {ℬ}_k},f\mapsto f_{|{ℬ}_1\times \cdots \times {ℬ}_k}$$ は全単射（そしてベクトル空間の同型である。すなわち、テンプレート:Mvar重線型写像は基底ベクトルの テンプレート:Mvar-組における値（これはベクトル空間 テンプレート:Mvar の任意のベクトルを選びうる）によって一意に決定される。

有限次元の場合、テンプレート:Math に対して具体的に基底を ${ℬ}_i:=\{{𝐞}_{i1},\dots ,{𝐞}_{i{d}_i}\}$ と書けば、各空間 テンプレート:Mvar の任意の元は $$x_i=\sum _{j=1}^{d_i}{X}_{ij}{𝐞}_{ij}$$ と書けるから、それらの テンプレート:Mvar-組 $x_1,\dots ,x_k$ に対する テンプレート:Mvar-重線型写像 $f:E_1\times E_2\times \cdots \times E_k\to F$ の値は $$f(x_1,\dots ,x_k)=f(\sum _{j_1=1}^{d_1}{X}_{1,j_1}{𝐞}_{1,j_1},\dots ,\sum _{j_k=1}^{d_k}{X}_{k,j_k}{𝐞}_{k,j_k})=\sum _{j_1=1}^{d_1}\cdots \sum _{j_k=1}^{d_k}\prod _{l=1}^k{X}_{l,j_l}f({𝐞}_{1,j_1},\dots ,{𝐞}_{k,j_k})$$ であり、テンプレート:Mvar 個のベクトル $f({𝐞}_{1,j_1},\dots ,{𝐞}_{k,j_k})$ で完全に決定される。

• より単純な場合として、$E_1=\cdots =E_k,{ℬ}_1=\cdots ={ℬ}_k=(e_i{)}_{i=1,\dots ,d}$ とすれば テンプレート:Mvar-重線型写像 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 個のベクトル $f(e_{i_1},\dots ,e_{i_k})$ で決定される。特に、テンプレート:Mvar-次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型形式の空間 テンプレート:Math の次元は テンプレート:Mvar である。

さらに、テンプレート:Mvar の基底 $ℬ:=\{{𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_d\}$ をとれば $$f({𝐞}_{1,j_1},\dots ,{𝐞}_{k,j_k})=A_{j_1\dots j_k}^1{𝐛}_1+\cdots +A_{j_1\dots j_k}^d{𝐛}_d$$ を満たすスカラーのあつまり $\{A_{j_1\dots j_k}^l\mid 1\le j_i\le d_i,1\le l\le d\}$ が一意に存在するから、テンプレート:Mvar はこれらのスカラーによって完全に決定される: $$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j_1=1}^{d_1}\cdots \sum _{j_n=1}^{d_n}\sum _{l=1}^d{A}_{j_1\dots j_k}^l{X}_{1,j_1}\cdots X_{k,j_k}{𝐛}_l.$$スカラー テンプレート:Math を テンプレート:Mvar-重線型写像 テンプレート:Mvar の ${ℬ}_1,\dots ,{ℬ}_k$ に対する構造定数あるいは成分 (compenent) と呼ぶ。

例

双線型形式 $f:{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ を考えよう。これは上で述べた設定で、$V_1=V_2:={ℝ}^2,d_1=d_2:=2$ および $W:=ℝ,d:=1$ とした場合である。また テンプレート:Mvar の基底はすべて同じ $\{{𝐞}_1,{𝐞}_2\}=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}$ にとって $f({𝐞}_i,{𝐞}_j)=A_{ij}$ と書く（基底の対は $\{{𝐞}_1,{𝐞}_1\},\{{𝐞}_1,{𝐞}_2\},\{{𝐞}_2,{𝐞}_1\},\{{𝐞}_2,{𝐞}_2\}$ の四つであり、それらにおける値である テンプレート:Mvar も四つある）。このとき、任意のベクトルの対における テンプレート:Mvar の値は $$f({𝐯}_1,{𝐯}_2)=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{A}_{ij}{v}_{1i}{v}_{2j}({𝐯}_i:=v_{i1}{𝐞}_1+v_{i2}{𝐞}_2)$$ と書ける。あるいは $$f(\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right))=acf(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))+adf(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))+bcf(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))+bdf(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))$$ のように書いてもいい。

テンソル積との関係

多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。すなわち多重線型写像の空間 テンプレート:Math と線型写像の空間 テンプレート:Math との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Math のテンソル積である。この対応関係において対応する多重線型写像 $f:E_1\times \cdots \times E_k\to F$ と線型写像 $\tilde{f}:E_1\otimes \cdots \otimes E_k\to F$ の間の関係は、等式 $$\tilde{f}(x_1\otimes \cdots \otimes x_k)=f(x_1,\dots ,x_k)(x_i\in E_i)$$ によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の制限であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の唯一の線型な拡張であるテンプレート:Efn。

対称性・反対称性・交代性

写像 $f\in L_k(E;F)$ が

• 対称的 (symmetric) であるとは、2つのベクトルを交換しても結果が変わらないことをいう： $$f(x_1,\dots ,x_k)=f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots ,x_k).$$
• 反対称的 (antisymmetric) であるとは、2つのベクトルを交換すると得られる結果が符号が逆になることをいう： $$f(x_1,\dots ,x_k)=-f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots ,x_k).$$
• 交代的 (alternating) であるとは、2つのベクトルが同じであるとき結果が 0 になることをいう： $$[\mathrm{\exists }i\ne j,x_i=x_j]⟹f(x_1,\dots ,x_k)=0.$$

明らかに、交代多重線型写像は反対称である。逆に、反対称多重線型写像は標数 2 でないとき交代、標数 2 のときは対称になる。反対称性のことを交代性と呼ぶこともしばしばある。 より一般に、文字 テンプレート:Mathの置換の成す対称群 ${𝔖}_k$ の テンプレート:Math への作用を

${𝔖}_k\times L_k(E;F)\to L_k(E;F):(\sigma ,f)\mapsto \sigma f(x_1,\dots ,x_k)=(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),$

即ち テンプレート:Mvar-重線型写像の テンプレート:Mvar 個の引数の置換として定める（テンプレート:Math となることに注意せよ）とき、テンプレート:Math が

• 対称であるとは、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となること;
• 反対称であるとは、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となること

と述べられる。ここに テンプレート:Math は置換 テンプレート:Mvar の符号である。

逆に、${𝔖}_k$ の作用の平均化を行うことにより、対称化作用素

$S:f\mapsto Sf:=\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}\sigma f$

および反対称化作用素

$A:f\mapsto Af:=\sum _{\sigma \in {𝔖}_k}\mathrm{sgn}(\sigma )\sigma f$

を定めれば、任意の テンプレート:Mvar-重線型写像 テンプレート:Mvar を対称化 テンプレート:Mvar および反対称化 テンプレート:Mvar することができる。しばしばこれらの作用素が冪等であるようにするために、テンプレート:Mvar で割る文献もある（が、それは正標数の体では常に可能とは限らない）。

例

• 任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の内積や R³ のベクトルのクロス積は多重線型写像である。
• 行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である。
• F: R^m → Rⁿ が C^k 級関数であれば、その定義域の各点 p における F の k 階導関数はテンプレート:仮リンク k 重線型関数

$D^{k}f(p):{ℝ}^m\times \cdots \times {ℝ}^m\to {ℝ}^n$

と見ることができる。

性質

• 多重線型写像の値は引数のうち1つでも0であれば0である。

交代写像

テンプレート:Main テンプレート:Seealso ここでは テンプレート:Mvar が有限 テンプレート:Mvar-次元であるとし、テンプレート:Mvar-重線型交代形式（上の設定で テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の場合）を考える。このとき、行列式の特徴づけ（ライプニッツの明示公式とは別の定義）を与えることができる。

テンプレート:Mvar の基底を テンプレート:Math とし、各ベクトルを テンプレート:Math と分解すれば、上で見たことから $$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{(i_1,\dots ,i_n)}\prod _{j=1}^n{X}_{i_j,j}f(e_{i_1},\dots ,e_{i_n})$$ と書けるが、テンプレート:Mvar の交代性（したがって反対称性）により置換 テンプレート:Math および置換の符号 テンプレート:Math によって $f(e_{i_1},\dots ,e_{i_n})=\epsilon (\sigma )f(e_1,\dots ,e_n)$ と書き直せるから $$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_n)& =(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^n{X}_{\sigma (j),j})f(e_1,\dots ,e_n)\\ & =\det (x_1,\dots ,x_n)\cdot f(e_1,\dots ,e_n)\end{array}$$（二つ目の等号はライプニッツの明示公式による）が成り立つ。テンプレート:Mvar-重交代形式 テンプレート:Mvar は $f(e_1,\dots ,e_n)$ で決まるが、特に $f(e_1,...,e_n)=1$なるものとして行列式は特徴付けられる。

• テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元ならば、テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型交代写像の空間 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に同型である。
• テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 次元で テンプレート:Math のとき、テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型交代写像の空間 テンプレート:Math は $F^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ に同型である。テンプレート:Efn
• テンプレート:Math のときは明らかに テンプレート:Mvar-重交代写像は零写像のみである。

関連項目

• 斉次多項式（代数的形式）: 多重線型形式は、一次の代数形式である。
• 斉次関数
• テンソル
• 外積代数
• テンプレート:仮リンク
• パーマネント (数学)

参考文献

• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki