シューア補行列

線型代数学関連分野におけるシューア補行列（シューアほぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short; シューア補元）は区分行列に対して定義される。名称はイサイ・シューアがシューアの補題の証明に用いたことに由来するが、それ以前からの使用が認められる。これを Schur complement と呼び始めたのはエミリー・ヘインズワースである。シューア補行列は数値解析 (特に数値線形代数) や統計学、行列解析の分野では主要な道具の一つとなっている。

定義

行列 テンプレート:Mvar のサイズをそれぞれ テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar として区分行列 $$M:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$ を考える。全体として テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 行列になっている。以下本項で テンプレート:Mvar と書けば断りなくこの区分行列を意味するものとする。

テンプレート:Mvar が正則であるとき、区分行列 テンプレート:Mvar の区画 テンプレート:Mvar に関するシューア補行列とは $$M/D:=A-B{D}^{-1}C$$ で定義される テンプレート:Mvar 行列を言う。同様に テンプレート:Mvar が正則であるとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に関するシューア補行列とは $$M/A:=D-C{A}^{-1}B$$ で定義される テンプレート:Mvar 行列を言う。

テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar が正則でない場合にも、逆行列の代わりに一般化逆行列を用いることにより、一般化シューア補行列を定義することはできる。

背景

シューア補行列は上記の行列 テンプレート:Mvar にブロック下半三角行列 $$L:=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right)$$（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 単位行列）を右から掛けるという形でガウス消去法を施した結果として生じる（テンプレート:Mvar を掛ければ、上側の テンプレート:Mvar 行列としてシューア補行列が現れる）。実際、行列の積は $$\begin{array}{cc}ML& =\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& B\\ 0& D\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right)\end{array}$$ となっている。これはLDU分解のブロック行列版となるもので、実際 テンプレート:Mvar について解けば $$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ 0& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ D^{-1}C& I_q\end{array}\right)$$ であり、テンプレート:Mvar の逆行列は テンプレート:Mvar が正則かつ テンプレート:Mvar に関するシューア補行列の逆行列が（存在するならば）既知のときには、テンプレート:Mvar の逆行列だけから $$\begin{array}{cc}{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)}^{-1}& =\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ -D^{-1}C& I_q\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_p& -B{D}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}(M/D{)}^{-1}& -(M/D{)}^{-1}B{D}^{-1}\\ -D^{-1}C(M/D{)}^{-1}& (M/A{)}^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$ と計算できる。

テンプレート:Ill2の項では、上記の式と テンプレート:Mvar の役割を入れ替えて同様の導出をした式との間の関係性が詳しく述べられる。

性質

• 区分行列 テンプレート:Mvar が正定値対称行列ならば、シューア補行列 テンプレート:Mvar もそうである。
• テンプレート:Mvar が全てスカラー（テンプレート:Math）のとき、テンプレート:Math 行列の逆行列の公式 $$M^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\left(\begin{array}{cc}D& -B\\ -C& A\end{array}\right)$$ はよく知られている（ただし [[行列式|テンプレート:Mvar]] は零でないものとする）。
• 一般のサイズの場合、テンプレート:Mvar が正則とすれば $$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B(M/A{)}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B(M/A{)}^{-1}\\ -(M/A{)}^{-1}C{A}^{-1}& (M/A{)}^{-1}\end{array}\right)$$ が逆行列の存在する限りにおいて成立する。
• 区分行列 テンプレート:Mvar の行列式は明らかに $$\det (M)=\det (D)\det (M/D)=\det (D)\det (A-B{D}^{-1}C)$$ で計算できる。これは テンプレート:Math 行列の行列式の定義式を区分行列版に一般化したものと見なせる。
• ガットマンの階数加法定理: 区分行列 テンプレート:Mvar の階数は $\mathrm{rank}(M)=\mathrm{rank}(D)+\mathrm{rank}(M/D)$ で与えられる。
• テンプレート:Ill2: 区分行列 テンプレート:Mvar の慣性指数は テンプレート:Mvar の慣性指数と テンプレート:Mvar の慣性指数との和に等しい。

線型方程式の解法への応用

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元列ベクトル、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元列ベクトルで、区分行列 テンプレート:Mvar が上記の如く与えられているとき、線型方程式系 $$\begin{array}{cc}Ax+By& =a\\ Cx+Dy& =b\end{array}$$ の解法にシューア補行列は自然に表れる。テンプレート:Mvar が可逆のとき、下の式に テンプレート:Math を掛けて上の式から引けば $$(M/D)x=a-B{D}^{-1}b$$ を得るから、シューア補行列 テンプレート:Mvar も可逆ならば、テンプレート:Mvar について解ける（さらに $Cx+Dy=b$ から テンプレート:Mvar も分かる）。これにより、もともとのサイズ テンプレート:Math の係数行列の逆行列を計算する問題が、それぞれのサイズが テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のふたつの行列の逆行列を計算することに帰着される。実用上は、このアルゴリズムが数値的に良い評価を与えるようにするために、テンプレート:Mvar が十分素性が良いものとなるような条件を課す。

電気工学においては、このことをしばしばノード除去 (node elimination) やテンプレート:Ill2などと言う。

確率論・統計学への応用

確率列ベクトル テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar はそれぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math を動くものとし、ベクトル テンプレート:Math は共分散が正定値対称行列 $$\mathrm{\Sigma }:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{\top }}& C\end{array}\right)$$ で与えられる多変量正規分布に従うものとする。ただし、$A\in {ℝ}^{n\times n}$ は テンプレート:Mvar の共分散行列、$C\in {ℝ}^{m\times m}$ は テンプレート:Mvar の共分散行列、$B\in {ℝ}^{n\times m}$ は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の共分散行列である。

このとき、テンプレート:Mvar が既知であるときの テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2 テンプレート:Mathは テンプレート:Mvar に関する テンプレート:Math のシューア補行列によって $$\mathrm{Cov}(X\mid Y)=\mathrm{\Sigma }/C$$ と与えられる（条件付き期待値は $\mathrm{E}(X\mid Y)=\mathrm{E}(X)+B{C}^{-1}(Y-\mathrm{E}(Y))$ となる）。

上記の如く テンプレート:Math を（しかし確率ベクトルの共分散としてではなく）標本共分散として与えたならば、ウィッシャート分布に従う。この場合、シューア補行列 テンプレート:Math もまたウィッシャート分布に従うテンプレート:Citation needed。

定値性の判定条件

対称行列 テンプレート:Mvar は $$X:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{\top }}& C\end{array}\right)$$ で与えられるものとする。このとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に関するシューア補行列は $$X/A=C-B^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}B,X/C=A-B{C}^{-1}{B}^{\mathrm{\top }}$$ と書ける。

1. テンプレート:Mvar が正定値となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar がともに正定値となることである: $$X\succ 0⟺A\succ 0\wedge X/A\succ 0.$$
2. テンプレート:Mvar が正定値となるための必要十分条件は テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar がともに正定値となることである: $$X\succ 0⟺C\succ 0,X/C\succ 0.$$
3. テンプレート:Mvar が正定値のとき、テンプレート:Mvar が半正定値となるための必要十分条件は テンプレート:Mvar が半正定値となることである。
4. テンプレート:Mvar が正定値のとき、テンプレート:Mvar が半正定値となるための必要十分条件は テンプレート:Mvar が半正定値となることである。

1. および 3. は テンプレート:Mvar を止めて テンプレート:Mvar の函数とみた量 $$u^{\mathrm{\top }}Au+2v^{\mathrm{\top }}{B}^{\mathrm{\top }}u+v^{\mathrm{\top }}Cv$$ の最小化を考えることで導出できる。さらに、$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{\top }}& C\end{array}\right)\succ 0⟺\left(\begin{array}{cc}C& B^{\mathrm{\top }}\\ B& A\end{array}\right)\succ 0$$ である（半正定値でも同様のことが言える）から、1. および 3. からそれぞれ 2. および 4. が直ちに得られる。

同じように、一般化シューア補行列を用いても テンプレート:Mvar の半正定値性を判定する必要十分条件を述べることができる。つまり、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の一般化逆行列とすれば $$X⪰0⟺A⪰0,C-B^{\mathrm{\top }}{A}^{g}B⪰0,(I-A{A}^g)B=0$$ および $$X⪰0⟺C⪰0,A-B{C}^g{B}^{\mathrm{\top }}⪰0,(I-C{C}^g)B^{\mathrm{\top }}=0$$ が成り立つ。

関連項目

• テンプレート:Ill2
• 準ニュートン法
• テンプレート:Ill2
• ガウス過程
• テンプレート:Ill2

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM