無限遠直線

無限遠直線（むげんえんちょくせん、Line at infinity）は、幾何学または位相幾何学におけるテンプレート:仮リンクに付加される直線である。位相幾何学に閉包性を与え、射影平面のテンプレート:仮リンクの性質の特殊な場合を例外なく取り扱うために使われる。無限遠線、無窮遠直線、無窮遠線、無窮線、あるいは理想線（テンプレート:Lang^[1]）とも言われる^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]。ポンスレなどによって研究された^[7]。

幾何学的構築

アフィン幾何学やユークリッド幾何学においては平行線は交わらないとされるが、射影幾何学においては、2つの直線は実平面で常に交わる。特に平行線は無限遠点で交わる。すべての無限遠点が存在する直線を無限遠直線という^[8]。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の傾きのみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面ではこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は閉曲線である。無限遠直線もまた自身と交叉するため閉曲線である。

無限遠直線はアフィン平面を囲う円とみなすこともできる。しかし円上の点の対蹠点は自身と一致する。アフィン平面と無限遠直線は実射影平面 $ℝ P^{2}$ を成す。

双曲線は2つの漸近線方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる^[9]。同様に放物線も軸方向の無限遠点で自己交叉し、閉曲線とみなすことができる。放物線と無限遠直線は接する^[10]。

複素射影平面上の無限遠直線の類似物は、複素射影直線である。2次元複素数空間上にリーマン球面を付加し4次元コンパクト空間を成すという点で、位相幾何学的には無限遠直線と全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は向き付け可能である。

複素無限遠直線は19世紀幾何学でよく使われた。円を無限遠直線上のある二点（虚円点）を通る円錐曲線として扱うことに応用された。

方程式X² + Y² = 0は、円の方程式から低次の項を除いたものである。通常、射影幾何学においてはテンプレート:仮リンク[X:Y:Z]が採択される。

無限遠直線は、Z = 0の場合である^[11]^[12]。つまり、低次の項をすべて除外した式を表す。

すべての円は無限遠直線上の虚円点を通る^[13]。

I = [1:i:0] , J = [1:−i:0].

これらは当然複素点で、任意の同次座標に存在する。ただし、射影直線はテンプレート:仮リンクを持つため、これは特別ではない。結論としては、円をテンプレート:仮リンクとしてみなすことができるということである。

テンプレート:Ill2では、無限遠直線は様々な特徴づけが成される。三角形の三辺をテンプレート:Mvarとして、無限遠直線は三線座標テンプレート:Mathではテンプレート:Math、重心座標テンプレート:Mathではテンプレート:Mathと表される^[1]^[14]。重心の三線極線としても定義できる^[15]。外接円とシュタイナー楕円はそれぞれ等角共役、等長共役で無限遠直線に移る。一般に外接円錐曲線の自身による平行弦共役は無限遠直線に移る^[16]。

円による反転によって、無限遠直線は、基準円の中心に映る。また、円の中心の極線は無限遠直線である。