ガンマ分布

テンプレート:出典の明記 テンプレート:確率分布 確率論および統計学において、ガンマ分布 (ガンマぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short) は連続確率分布の一種である。その性質は形状母数 テンプレート:Mvar、尺度母数 テンプレート:Mvar の2つの母数で特徴づけられる。主に信頼性工学における電子部品の寿命分布や通信工学におけるトラフィックの待ち時間分布に応用される。また所得分布にも応用される。

定義と性質

ガンマ分布は、確率密度関数がテンプレート:Ill テンプレート:Math2, テンプレート:Ill テンプレート:Math2 を用いて

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(k){\theta }^k}{x}^{k-1}{e}^{-x/\theta }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x>0$

で定義される分布である。ここで、テンプレート:Math はガンマ関数である。

等価な定義として、パラメータ テンプレート:Math2 を用いて次のように表されることもある。

$f(x)=\frac{{\lambda }^k}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x>0$

このとき、ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u)du=\frac{\gamma (k,x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k)}=\frac{\gamma (k,\lambda x)}{\mathrm{\Gamma }(k)}$

ここで テンプレート:Mvar は不完全ガンマ関数である。

平均・分散

ガンマ分布の確率変数を テンプレート:Mvar とするとき、平均 テンプレート:Math および分散 テンプレート:Math は次のように表される。

$E(X)=k\theta =\frac{k}{\lambda }$

$V(X)=k{\theta }^2=\frac{k}{{\lambda }^2}$

特性関数

ガンマ分布の確率変数を テンプレート:Mvar とするとき、特性関数 テンプレート:Math は

${\varphi }_X(t)=E(e^{iXt})=\frac{1}{(1-i\theta t{)}^k}={\left(\frac{\lambda }{\lambda -it}\right)}^k$

で与えられる。

これはパラメータ（平均）テンプレート:Mvar とする指数分布の特性関数を テンプレート:Mvar 乗したものに一致する。このことは、特に テンプレート:Mvar を整数としたときに、パラメータ テンプレート:Mvar の指数分布に従う テンプレート:Mvar 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 テンプレート:Mvar、尺度母数 テンプレート:Mvar のガンマ分布に従うことを表している。

再生性

ガンマ分布は再生性を有する。すなわち、パラメータに形状母数 テンプレート:Math と尺度母数 テンプレート:Mvar を持つガンマ分布の確率変数を テンプレート:Math、パラメータに形状母数 テンプレート:Math と尺度母数 テンプレート:Mvar を持つガンマ分布の確率変数を テンプレート:Math とするとき、確率変数の和 テンプレート:Math2 は、形状母数 テンプレート:Math2、尺度母数 テンプレート:Mvar のガンマ分布に従う。

他の分布との関係

以下の分布はガンマ分布の特別な場合である。

指数分布

特に テンプレート:Math2 である場合、このガンマ分布は尺度母数（平均値）を テンプレート:Mvar とする指数分布に帰着する。

アーラン分布

テンプレート:Mvar が整数である場合、このガンマ分布はアーラン分布に帰着する。また、尺度母数（平均値）に テンプレート:Mvar を持つ互いに独立な テンプレート:Mvar 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 テンプレート:Mvar と尺度母数 テンプレート:Mvar を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。

カイ二乗分布

テンプレート:Math2 かつ テンプレート:Math2 である場合、ガンマ分布は自由度 テンプレート:Mvar のカイ二乗分布に帰着する。

関連項目

• 確率分布
• 指数分布
• アーラン分布
• カイ二乗分布
• 逆ガンマ分布
• テンプレート:仮リンク