正方行列

テンプレート:出典の明記テンプレート:Expand English 正方行列（せいほうぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]

性質

同じサイズの正方行列の全体には加法・乗法が定義可能で、環をなす。（これは行列のサイズが n × n のとき n 次の全行列環と呼ばれる。）
- 可換環上 1 次の場合（スカラー）をのぞいて、全行列環は非可換。
- 実数体 R 上で定義された 2 次の全行列環は複素数体 C と同型な部分体を含む。
- 複素数体 C 上定義された 2 次の全行列環あるいは R 上定義された 4 次の全行列環は、四元数体 H に同型な部分斜体を含む。
可換環上で定義される正方行列には行列式を定義できる。
単元と冪等元の積として書ける。

正方行列に対して定義されているものを以下に示す。

特異値を除くと、通常これらは正方行列でのみ定義されている。