等差数列

テンプレート:出典の明記数学におけるテンプレート:読み仮名またはテンプレート:読み仮名とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差をテンプレート:読み仮名という。

例えば、テンプレート:Math2 は初項テンプレート:Math, 公差テンプレート:Math の等差数列である。同様に、テンプレート:Math2 は公差テンプレート:Math の等差数列である。

等差数列の初項をテンプレート:Math とし、その公差をテンプレート:Mvar とすれば、第テンプレート:Mvar 項テンプレート:Mvar は

a_{n} = a_{0} + n d

であり、一般に

a_{n} = a_{m} + (n - m) d

と書ける。

等差数列の和は算術級数 (テンプレート:En) という。等差数列の無限和（無限算術級数）は発散級数である。

総和

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

和テンプレート:Math2 の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、テンプレート:Math2 が求める和の2倍に等しい。

テンプレート:See also 有限のテンプレート:Efn等差数列の和を算術級数と言う。公差テンプレート:Mvar の等差数列の第テンプレート:Mvar 項までテンプレート:Math2 の総和は、

\begin{matrix} S_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \\ = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} \\ = (n + 1) \frac{a_{0} + a_{n}}{2} \\ = (n + 1) \frac{2 a_{0} + n d}{2} \end{matrix}

と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場するテンプレート:Efn。

算術級数の公式は、算術級数テンプレート:Mvar の各項を初項テンプレート:Math で書き換えたものと、末尾の項テンプレート:Mvar で書き換えたもの和からテンプレート:Math を求めることで得られる：

\begin{matrix} S_{n} & = a_{0} + (a_{0} + d) + (a_{0} + 2 d) + \dots + (a_{0} + n d) \\ + S_{n} & = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + \dots + (a_{n} - n d) \\ HLINE TBD 2 S_{n} & = (a_{0} + a_{n}) + (a_{0} + d + a_{n} - d) + (a_{0} + 2 d + a_{n} - 2 d) + \dots + (a_{0} + n d + a_{n} - n d) \end{matrix}

右辺では公差テンプレート:Mvar を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局テンプレート:Math2 となる。両辺をテンプレート:Math で割れば

S_{n} = (n + 1) \frac{a_{0} + a_{n}}{2}

を得る。そして算術級数の平均値テンプレート:Math2 は、明らかにテンプレート:Math2 である。499年に、インド数学・テンプレート:Ill2古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、テンプレート:Ill2 (section 2.18) でこのような方法を与えている。

総乗

初項テンプレート:Math で、公差テンプレート:Mvar の等差数列に対して、初項から第テンプレート:Mvar 項までの総乗

\begin{matrix} P_{n} & : = a_{0} \cdot a_{1} \cdot \dots \cdot a_{n} \\ = a_{0} \cdot (a_{0} + d) \cdot \dots \cdot (a_{0} + n d) \\ = d \frac{a_{0}}{d} \cdot d (\frac{a_{0}}{d} + 1) \cdot \dots \cdot d (\frac{a_{0}}{d} + n) \\ = d^{n + 1} {(\frac{a_{0}}{d})}^{\overline{n + 1}} \end{matrix}

（

x^{\overline{n}}

は上昇階乗冪）はガンマ関数テンプレート:Math を用いて

P_{n} = d^{n + 1} \frac{Γ (\frac{a_{0}}{d} + n + 1)}{Γ (\frac{a_{0}}{d})}

というテンプレート:Ill2によって計算できる（ただし、テンプレート:Math が負の整数やテンプレート:Math となる場合は、式は意味を持たない）。テンプレート:Math2 に注意すれば、上記の式は、テンプレート:Math からテンプレート:Mvar までの積テンプレート:Math2 および正の整数テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar までの積テンプレート:Math2 を一般化するものであることが分かる。

共通項

任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限等差数列からなる族に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はテンプレート:Ill2である^[1]。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

注釈・出典

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注釈

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出典

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参考文献

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外部リンク

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テンプレート:Algebra-stub テンプレート:級数

↑ テンプレート:Citation. See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

[1] テンプレート:Citation. See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

[1]

等差数列

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総和

総乗

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