直交多項式

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数学における直交多項式列（ちょっこうたこうしきれつ、テンプレート:Lang-en-short）または直交多項式系 (system of orthogonal polynomials) は、多項式の成す族（多項式列）であって、それに属するどの二つの多項式も適当な内積に関して直交するものをいう[1][2][3][4]。

最も広く用いられる直交多項式列はテンプレート:仮リンクと呼ばれる一群で、エルミート多項式列、ラゲール多項式列、テンプレート:仮リンク列やそれらの特別の場合としてのゲーゲンバウアー多項式列、チェビシェフ多項式列（テンプレート:Ill2やテンプレート:Ill2に使われている）、ルジャンドル多項式列（ガウス・ルジャンドル公式による求積に使われている[5]）などが含まれる[1][2][3][4]。

直交多項式系に関する分野は、19世紀後半にチェビシェフによる連分数の研究から発展し、マルコフとスティルチェスが続いた。直交多項式系に関して業績・貢献のある数学者は多数いる（後述する）。

一変数および実測度の場合の定義

実数直線上定義された非減少函数 テンプレート:Mvar が任意に与えられたとき、函数 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に関するルベーグ–スティルチェス積分

∫f(x)dα(x)

が定義できる[1][2][3][4]。この積分が任意の多項式に対して有限であるとき、多項式の対 テンプレート:Mvar に対して内積

⟨f,g⟩=∫f(x)g(x)dα(x)

が定義される[1][2][3][4]。この演算は多項式全体の成すベクトル空間上の半正定値内積であり、テンプレート:Mvar が無限個の増加点を持つならば正定値になる。この内積に関して通常の仕方で直交性が定義できる（つまり二つの多項式が直交するとはそれらの内積が零であることをいう[1][2][3][4]）。

このとき多項式列 テンプレート:Math が直交系であるとは、テンプレート:Math のとき常に関係式

⟨Pm,Pn⟩=0

を満たすことを言う[1][2][3][4]。即ち直交多項式列は単項式列 テンプレート:Math に与えられた内積に関するグラム–シュミットの直交化を施して得られる[5]。

正規直交系

通常はさらに正規直交系、すなわち

⟨Pn,Pn⟩=1

となることも要求する (これを課すことにより直交多項式列は一意に定まる[1])。

絶対連続の場合

テンプレート:Mvar がルベーグ測度 テンプレート:Mvar に対して絶対連続であるとき、すなわち適当な区間 テンプレート:Math（テンプレート:Math および テンプレート:Math となってもよい）上に台を持つ非負函数 テンプレート:Mvar を密度函数 (weight function) として

dα(x)=W(x)dx

と書けるとき、内積も

⟨f,g⟩=∫x1x2f(x)g(x)W(x)dx

の形に与えられる[1][2][3][4]。しかし多くの直交多項式系の例において、測度 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の不連続点集合が正の測度を持ち、このような密度函数 テンプレート:Mvar を与えることはできない。

直交多項式列の例

古典直交多項式列

テンプレート:Seealso もっともよく利用される直交多項式系は、実数直線上の適当な区間に台を持つ測度に対して直交するものである。例えば：

離散直交多項式列

適当な離散測度に関して直交する多項式列はテンプレート:仮リンクであるという。この場合、測度が有限台、つまり多項式の無限列ではなく有限列となることもある。テンプレート:仮リンク列は離散直交多項式列の例であり、特別の場合としてハーン多項式列[8]および双対ハーン多項式列[8]を含む。したがってさらに特別の場合としてテンプレート:仮リンク、クラウチューク多項式列、テンプレート:仮リンクなどが含まれる。

篩直交多項式列

テンプレート:仮リンク、例えばテンプレート:仮リンク列、テンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク列など、は修正された漸化式を持つ。

単位円上の直交多項式列

ガウス平面上の適当な曲線に関する直交多項式系も考えられる。実数直線上を除いてもっとも重要な場合は、考える曲線が単位円の場合である。テンプレート:仮リンクには例えばテンプレート:仮リンク列がある。

三角形や円板のような平面領域上で定義された直交多項式の族も存在する。それらの中には、ヤコビ多項式列を用いて書き表すことができるものもある。例えばゼルニケ多項式列は単位円板上で直交する。 単位正方形の半分の直角二等辺三角形上での直交多項式の族として Appell多項式がある[12].

性質

実数直線上の非負測度に関する一変数直交多項式列は以下のような性質を満たす。

モーメントとの関係

直交多項式列 テンプレート:Mathをモーメント テンプレート:Math を用いて

Pn(x)=cndet⁡(m0m1m2⋯mnm1m2m3⋯mn+1⋮⋮⋮⋮⋮mn−1mnmn+1⋯m2n−11xx2⋯xn)

と表すことができる[1]。ここに任意定数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の正規化に関するものである。

漸化式

直交多項式列 テンプレート:Mathは以下の形の漸化式

Pn(x)=(Anx+Bn)Pn−1(x)+CnPn−2(x)

を満足する[1][2][7][5]。逆の結果は テンプレート:仮リンクを見よ[10][13][14]。

クリストッフェル–ダルブーの公式[1][2][3][7]

テンプレート:Main

零点

テンプレート:Seealso 測度 テンプレート:Mvar が区間 テンプレート:Math に台を持つならば テンプレート:Math の零点は全て テンプレート:Math に属する[1][5] (この性質を応用したのが直交多項式による多項式補間[1]、ガウス求積[1][7][5][15]、ガウス＝クロンロッド求積法[16]である。)。

交絡性質

以下のような交絡性質 (interlacing property):

テンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar の各零点は必ず テンプレート:Mvar の任意の二つの零点の間にある。

を満たす[1]。

重根の非存在

テンプレート:Mvarの零点は全て相異なる実根である（重根を持たない）[1][5]。

多変数の直交多項式列[17][18]

テンプレート:仮リンク列[19][20]はアフィンルート系の選び方に依存して決まる多変数直交多項式系である。マクドナルド多項式列はその特別の場合として他の多くの多変数直交多項式族、例えばテンプレート:仮リンク列[20]、テンプレート:仮リンク列[20]、テンプレート:仮リンク列、テンプレート:仮リンク列などを含む。テンプレート:仮リンク列[11]はある種の階数 テンプレート:Math の非被約ルート系に対するマクドナルド多項式の特別な場合である。

関連項目

研究者・専門家

直交多項式に関して業績・貢献のある数学者として以下が挙げられる。

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

  • George E. Andrews, Richard Askey, and Ranjan Roy: Special Functions, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-52178988-2 (1999).
  • Richard Beals and Roderick Wong: Special Functions and Orthogonal Polynomials(2nd ed.), Cambridge Univ. Press, ISBN 978-1-10710698-7 (2016).
  • Géza Freud：Orthogonal Polynomials, Pergamon Press, ISBN 978-1-48312698-2 (1971).
  • G. Sansone: Orthogonal Functions, (Revised English Edition), Dover, テンプレート:ISBN2 (1991).
  • Theodore S. Chihara: An Introduction to Orthogonal Polynomials, Dover, ISBN 978-0-486-47929-3 (2011).
  • Herbert Stahl and Vilmos Totik: General Orthogonal Polynomials, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
  • Khrushchev, Sergey: Orthogonal Polynomials and Continued Fractions: From Euler's Point of View, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-85419-1 (2008).

和書：

  • 伏見康治、赤井逸：「[復刊] 直交関数系　増補版」、共立出版、ISBN 978-4-320-03478-5 (2011年)．
  • 青本和彦：「直交多項式入門」、数学書房、ISBN 978-4-903342-72-6 (2013年).

外部リンク

テンプレート:Authority control

  1. ↑ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
  2. ↑ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 青本和彦: 直交多項式入門, 数学書房, 2013 年.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 テンプレート:SpringerEOM
  4. ↑ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 テンプレート:Abramowitz Stegun ref
  5. ↑ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 テンプレート:Cite book
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 Koekoek, R., & Swarttouw, R. F. (1996). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. arXiv preprint math/9602214.
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  11. ↑ 11.0 11.1 11.2 Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials", Memoirs of the en:American Mathematical Society, 54 (319): iv+55, doi:10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN 0065-9266, MR 0783216
  12. ↑ Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Function, Vol.2, McGraw-Hill (1953). §12.4："Appell's polynomials",
  13. ↑ Favard theorem. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Favard_theorem&oldid=43634
  14. ↑ J. Favard, "Sur les polynomes de Tchebicheff" C.R. Acad. Sci. Paris , 200 (1935) pp. 2052-2053
  15. ↑ 森正武、数値解析第2版、共立出版。
  16. ↑ Notaris, S. E. (2016). Gauss–Kronrod quadrature formulae–a survey of fifty years of research. Electron. Trans. Numer. Anal, 45, 371-404.
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  21. ↑ テンプレート:Cite book
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  25. ↑ Orthogonal polynomials in MATLAB: exercises and solutions, SIAM, Philadelphia, 2016.
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